直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：填空题

填空题

（2015春•桐乡市期中）过点作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B．若直线AB恰好经过椭圆的焦点和上顶点，则椭圆方程为______．

正确答案

解析

解：方法一：设点P，O（0，0）．则以线段OP为直径的圆的方程为：．与方程x2+y2=1相减得．

令x=0，得y=2；令y=0，得x=1．

∴焦点为（1，0），上顶点为（0，2）．

∴c=1，b=2．a2=b2+c2=5．

∴椭圆的方程为．

方法二：易知直线x=1是圆的一条切线，切点为A（1，0）；

设另一条切线的斜率为k，则切线方程为，化为2kx-2y+1-2k=0，则，解得，得切线方程为3x+4y-5=0．

联立解得切点B．

∴直线AB的方程为：2x+y-2=0．以下同方法一．

题型：填空题

填空题

已知直线l与抛物线y2=x交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2=-1．若△AOB的面积的为，则直线l的方程为______．

正确答案

x-4y-1=0或x+4y-1=0

解析

解：由题意，设直线l的方程为x=my+n，

则由消去x可得，

y2-my-n=0，

由韦达定理得，

y1y2=-n=-1，y1+y2=m，

解得，n=1．

S△AOB=×1×|y1-y2|=

=×=，

解得，m=±4，

则直线l的方程为x=±4y+1，

即x-4y-1=0或x+4y-1=0．

题型：简答题

简答题

已知椭圆E：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；

（3）证明：直线PQ与椭圆E只有一个公共点．

正确答案

解：：（1）由题意可得，解得，c=1，

所以椭圆E：．

（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，

设P（3，y0），Q（x1，y1），

因为PF2⊥F2Q，所以，

所以-y1y0=2（x1-1）

又因为且代入化简得．

即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．

（3）由（2）知，，，

∴．

∴直线PQ的方程为，即，

联立得，

∵，．

∴化简得：，又△=0，

解得x=x1，所以直线PQ与椭圆C相切，只有一个交点．

解析

解：：（1）由题意可得，解得，c=1，

所以椭圆E：．

（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，

设P（3，y0），Q（x1，y1），

因为PF2⊥F2Q，所以，

所以-y1y0=2（x1-1）

又因为且代入化简得．

即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．

（3）由（2）知，，，

∴．

∴直线PQ的方程为，即，

联立得，

∵，．

∴化简得：，又△=0，

解得x=x1，所以直线PQ与椭圆C相切，只有一个交点．

题型：填空题

填空题

已知抛物线y2=-x与直线y=2（x+1）相交于A、B两点，则△AOB的面积（O为原点）的面积为______．

正确答案

解析

解：由题意作出图象，

|OC|=1，

联立方程y2=-x，y=2（x+1），消去x得，

2y2=2-y，即2y2+y-2=0；

则由韦达定理可得，

y1+y2=-，y1•y2=-1，

则|y1-y2|2=（y1+y2）2-4y1•y2=，

故|y1-y2|=，

故S△AOB=S△COB+S△AOC=×|OC|×|y1-y2|=．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

如图，椭圆C1与椭圆C2中心在原点，焦点均在x轴上，且离心率相同．椭圆C1的长轴长为，且椭圆C1的左准线l：x=-2被椭圆C2截得的线段ST长为，已知点P是椭圆C2上的一个动点．

（1）求椭圆C1与椭圆C2的方程；

（2）设点A1为椭圆C1的左顶点，点B1为椭圆C1的下顶点，若直线OP刚好平分A1B1，求点P的坐标；

（3）若点M，N在椭圆C1上，点P，M，N满足，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

正确答案

解：（1）设椭圆C1方程为，椭圆C2方程为，

则，∴，又其左准线，

∴c1=1，则b1=1

∴椭圆C1方程为，其离心率为，

∴椭圆C2中，

由线段的ST长为，得，代入椭圆C2，得，

∴，

∴椭圆C2方程为；

（2），

则A1B1中点为，

∴直线OP为，

由，得或，

∴点P的坐标为；

（3）设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），

则，，

由可得：（x0，y0）=（x1，y1）+2（x2，y2），

∴

∴=

=++4（x1x2+2y1y2）

=10+4（x1x2+2y1y2）=10．

∴x1x2+2y1y2=0，

∴，即，

∴直线OM与直线ON的斜率之积为定值，且定值为．

解析

解：（1）设椭圆C1方程为，椭圆C2方程为，

则，∴，又其左准线，

∴c1=1，则b1=1

∴椭圆C1方程为，其离心率为，

∴椭圆C2中，

由线段的ST长为，得，代入椭圆C2，得，

∴，

∴椭圆C2方程为；

（2），

则A1B1中点为，

∴直线OP为，

由，得或，

∴点P的坐标为；

（3）设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），

则，，

由可得：（x0，y0）=（x1，y1）+2（x2，y2），

∴

∴=

=++4（x1x2+2y1y2）

=10+4（x1x2+2y1y2）=10．

∴x1x2+2y1y2=0，

∴，即，

∴直线OM与直线ON的斜率之积为定值，且定值为．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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