直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

在等差数列{an}中，a4S4=-14，S5-a5=-14，其中Sn是数列{an}的前n项之和，曲线Cn的方程是+=1，直线l的方程是y=x+3．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）判断Cn与l的位置关系；

（3）当直线l与曲线Cn相交于不同的两点An，Bn时，令Mn=（|an|+4）|AnBn|，求Mn的最小值．

（4）对于直线l和直线外的一点P，用“l上的点与点P距离的最小值”定义点P到直线l的距离与原有的点到直线距离的概念是等价的．若曲线Cn与直线l不相交，试以类似的方式给出一条曲线Cn与直线l间“距离”的定义，并依照给出的定义，在Cn中自行选定一个椭圆，求出该椭圆与直线l的“距离”．

正确答案

解：（1）∵S5-a5=-14，∴S4=-14，

又∵a4S4=-14，∴a4=1，

∵S4=-14=，

∴a1=-8，，

∴an=3n-11．

（2），

由题意，知△=16（|an|2-5|an|）＞0，即|an|＞5，

∴3n-11＞5或3n-11＜-5，即或n＜2，

即n≥6或n=1时，直线l与曲线Cn相交于不同的两点．

（3）由（2）当n≥6或n=1时，直线l与曲线Cn相交于不同的两点．Mn=（|an|+4）•|AnBn|==，

∴n=6时，Mn的最小值为．

（4）若曲线Cn与直线l不相交，曲线Cn与直线l间“距离”是：曲线Cn上的点到直线l距离的最小值．

曲线Cn与直线l不相交时，△=16（|an|2-5|an|）＜0，即0＜|an|＜5，即|3n-11|＜5，

∴n=3，4，5，

∵n=5时，曲线C5为圆，

∴n=3，4时，曲线Cn为椭圆．

选n=3，椭圆为，设椭圆上任一点M，它到直线l的距离：，

∴椭圆C3到直线l的距离为．（椭圆C4到直线l的距离为）

解析

解：（1）∵S5-a5=-14，∴S4=-14，

又∵a4S4=-14，∴a4=1，

∵S4=-14=，

∴a1=-8，，

∴an=3n-11．

（2），

由题意，知△=16（|an|2-5|an|）＞0，即|an|＞5，

∴3n-11＞5或3n-11＜-5，即或n＜2，

即n≥6或n=1时，直线l与曲线Cn相交于不同的两点．

（3）由（2）当n≥6或n=1时，直线l与曲线Cn相交于不同的两点．Mn=（|an|+4）•|AnBn|==，

∴n=6时，Mn的最小值为．

（4）若曲线Cn与直线l不相交，曲线Cn与直线l间“距离”是：曲线Cn上的点到直线l距离的最小值．

曲线Cn与直线l不相交时，△=16（|an|2-5|an|）＜0，即0＜|an|＜5，即|3n-11|＜5，

∴n=3，4，5，

∵n=5时，曲线C5为圆，

∴n=3，4时，曲线Cn为椭圆．

选n=3，椭圆为，设椭圆上任一点M，它到直线l的距离：，

∴椭圆C3到直线l的距离为．（椭圆C4到直线l的距离为）

题型：简答题

简答题

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，点F是椭圆C的右焦点，若，求证：为定值．

正确答案

（1）解：设椭圆C的方程为，

由抛物线化为x2=4y，可得焦点（0，1），是椭圆的短轴的一个端点，

∴b=1，

又，联立可得，解得a2=5，b=1，c=2．

故椭圆C的方程为

（2）证明：设A，B，M点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），

F点的坐标为（2，0）．

，

由，得，

则，（※）

设直线AB：y=k（x-2）代入椭圆方程，

有（1+5k2）x2-20k2x+20k2-5=0

由韦达定理代入（※）

有．

解析

（1）解：设椭圆C的方程为，

由抛物线化为x2=4y，可得焦点（0，1），是椭圆的短轴的一个端点，

∴b=1，

又，联立可得，解得a2=5，b=1，c=2．

故椭圆C的方程为

（2）证明：设A，B，M点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），

F点的坐标为（2，0）．

，

由，得，

则，（※）

设直线AB：y=k（x-2）代入椭圆方程，

有（1+5k2）x2-20k2x+20k2-5=0

由韦达定理代入（※）

有．

题型：单选题

单选题

设抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线的两条切线交于点C，则有（　　）

A•=0

B•＞0

C•＜0

D•≠0

正确答案

解析

解：∵F（0，），又依题意直线l不与x轴垂直，∴设直线l的方程为y=kx+．

由，可得x2-2pkx-p2=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2pk，x1x2=-p2．

，

y1y2=（kx1+）（kx2+）=k2x1x2+（x1+x2）+

=-k2p2+k2p2+=．

由x2=2py，可得y=，∴y′=．

∴抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为．

∴在点A处的切线方程为y-y1=（x-x1），

即．

同理在点B处的切线方程为．

解方程组，可得．

∴点C的坐标为．

∴

==0．

故选：A．

题型：简答题

简答题

已知双曲线，过点P（0，1）作斜率为k的直线l与双曲线恰有一个公共点，求满足条件的直线l．

正确答案

解：（1）依题意设直线方程为y=kx+1，由得（1-2k2）x2-4kx-4=0…（3分）

当1-2k2=0，即时，方程只一个实根，直线为…（3分）

当1-2k2≠0，即时，由△=0得k=±1，直线为y=±x+1…（3分）

故所求方程为或y=±x+1…（1分）

解析

解：（1）依题意设直线方程为y=kx+1，由得（1-2k2）x2-4kx-4=0…（3分）

当1-2k2=0，即时，方程只一个实根，直线为…（3分）

当1-2k2≠0，即时，由△=0得k=±1，直线为y=±x+1…（3分）

故所求方程为或y=±x+1…（1分）

题型：简答题

简答题

设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，．

（1）求椭圆C的离心率；

（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程．

正确答案

解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知y1＞0，y2＜0．

直线l的方程为，其中．

联立得，

解得，

因为，所以-y1=2y2．即，

所以3c=2a，得离心率．

（2）由（1）知c=，

则==，

所以．

再由得．

所以，得a=3，．

椭圆C的方程为．

解析

解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知y1＞0，y2＜0．

直线l的方程为，其中．

联立得，

解得，

因为，所以-y1=2y2．即，

所以3c=2a，得离心率．

（2）由（1）知c=，

则==，

所以．

再由得．

所以，得a=3，．

椭圆C的方程为．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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