- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（ ）
正确答案
解析
由抛物线的定义可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，
在直角梯形APQB中，|MN|=
故圆心M到准线的距离等于半径，
∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，
故选B．
过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=______．
正确答案
1
解析
解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），
∴设直线AB：y=k（x-1），
由
∵A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1x2=
故答案为：1．
已知椭圆C两焦点坐标分别为
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）是否存在斜率为k（k≠0）的直线l，使直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，满足|AM|=|AN|．若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
正确答案
解：（Ⅰ）∵椭圆C两焦点坐标分别为
∴可设椭圆方程为
∴
∴a2=b2+c2=3．
∴椭圆C的方程为
（Ⅱ）存在这样的直线l．
设直线l的方程为y=kx+m，联立
∵△=36k2m2-4（1+3k2）（3m2-3）得3k2-m2+1＞0…①
设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN中点为P（x0，y0），
则
于是
∵|AM|=|AN|，∴AP⊥MN．
若m=0，则直线l过原点，P（0，0），不合题意．
若m≠0，由k≠0得，kAP•k=-1得到
由①②知，k2＜1，∴-1＜k＜1．
又k≠0，∴k∈（-1，0）∪（0，1）．
解析
解：（Ⅰ）∵椭圆C两焦点坐标分别为
∴可设椭圆方程为
∴
∴a2=b2+c2=3．
∴椭圆C的方程为
（Ⅱ）存在这样的直线l．
设直线l的方程为y=kx+m，联立
∵△=36k2m2-4（1+3k2）（3m2-3）得3k2-m2+1＞0…①
设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN中点为P（x0，y0），
则
于是
∵|AM|=|AN|，∴AP⊥MN．
若m=0，则直线l过原点，P（0，0），不合题意．
若m≠0，由k≠0得，kAP•k=-1得到
由①②知，k2＜1，∴-1＜k＜1．
又k≠0，∴k∈（-1，0）∪（0，1）．
抛物线y2=4x上一定点P（x0，2），直线l的一个方向向量
（1）若直线l过P，求直线l的方程；
（2）若直线l不过P，且直线l与抛物线交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率为kPA，kPB，求kPA+kPB的值．
正确答案
解：（1）由抛物线y2=4x上一定点P（x0，2），
则4=4x0，∴x0=1．故P（1，2）．
∵直线l的一个方向向量
∴过P（1，2）的直线l的方程为y-2=-1×（x-1），
即x+y-3=0；
（2）设 A（x1，y1）、B（x2，y2），由题得直线的斜率为-1．
设不过点P的直线方程为y=-x+b，
由
由于P（1，2），
∴kPA+kPB=
=
=
=
解析
解：（1）由抛物线y2=4x上一定点P（x0，2），
则4=4x0，∴x0=1．故P（1，2）．
∵直线l的一个方向向量
∴过P（1，2）的直线l的方程为y-2=-1×（x-1），
即x+y-3=0；
（2）设 A（x1，y1）、B（x2，y2），由题得直线的斜率为-1．
设不过点P的直线方程为y=-x+b，
由
由于P（1，2），
∴kPA+kPB=
=
=
=
设椭圆C1：
（1）求椭圆C1与抛物线C2的方程；
（2）直线l经过椭圆C1的右焦点F2与抛物线C2交于A1，A2两点，如果弦长|A1A2|等于△PF1F2的周长，求直线l的斜率．
正确答案
解：（1）由椭圆的离心率
又
∴椭圆C1的方程为：
抛物线C2的焦点为（1，0），∴m=1，则抛物线方程为：y2=4x；
（2）由于△PF1F2周长为 2a+2c=6，故弦长|A1A2|=6，
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为 y-0=k（x-1），
代入抛物线C2：y2=4x，化简得 k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
∴
∴|A1A2|=
=
故直线l的斜率为：
解析
解：（1）由椭圆的离心率
又
∴椭圆C1的方程为：
抛物线C2的焦点为（1，0），∴m=1，则抛物线方程为：y2=4x；
（2）由于△PF1F2周长为 2a+2c=6，故弦长|A1A2|=6，
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为 y-0=k（x-1），
代入抛物线C2：y2=4x，化简得 k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
∴
∴|A1A2|=
=
故直线l的斜率为：
扫码查看完整答案与解析