直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=8x的焦点为F．椭圆Σ的中心在坐标原点，离心率，并以F为一个焦点．

（1）求椭圆Σ的标准方程；

（2）设A1A2是椭圆Σ的长轴（A1在A2的左侧），P是抛物线C在第一象限的一点，过P作抛物线C的切线，若切线经过A1，求证：．

正确答案

（1）解：依题意，设椭圆Σ的标准方程为（a＞b＞0），

2p=8，所以p=4，，F（2，0），c=2，

又，所以a=4，b2=a2-c2=12，

所以椭圆Σ的标准方程为；

（2）证明：抛物线C在第一象限的部分可看作函数（x＞0）的图象，

依题意，不妨设（y0＞0），

因为，

所以切线PA1的斜率，PA1：，

由（1）得A1（-4，0），代入解得，则，A2（4，0），∴PA2⊥A1A2，

在Rt△PA1A2中，A1A2=8，，∠PA2A1是直角，所以．

解析

（1）解：依题意，设椭圆Σ的标准方程为（a＞b＞0），

2p=8，所以p=4，，F（2，0），c=2，

又，所以a=4，b2=a2-c2=12，

所以椭圆Σ的标准方程为；

（2）证明：抛物线C在第一象限的部分可看作函数（x＞0）的图象，

依题意，不妨设（y0＞0），

因为，

所以切线PA1的斜率，PA1：，

由（1）得A1（-4，0），代入解得，则，A2（4，0），∴PA2⊥A1A2，

在Rt△PA1A2中，A1A2=8，，∠PA2A1是直角，所以．

题型：填空题

填空题

过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A，B两点，且|AB|=4，则这样的直线有______条．

正确答案

解析

解：右焦点为（，0），当AB的斜率不存在时，直线AB方程为 x=，

代入双曲线的方程可得y=±2，即A，B两点的纵坐标分别为2 和-2，满足|AB|=4．

当AB的斜率存在时，设直线AB方程为 y-0=k（x-），代入双曲线的方程化简可得

（2-k2） x2 +2 k2x-3k2-2=0，∴x1+x2=-，x1•x2=，

∴|AB|=4=，平方化简可得（3k4+6）（k2-1）=0，

∴k=±，都能满足判别式△=12-4（2-k2）（3k2-2）＞0．

所以，满足条件的且斜率存在的直线有2条．

综上，所有满足条件的直线共有3条，

故答案为：3．

题型：简答题

简答题

已知椭圆C1：，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．

（1）求椭圆C2的方程；

（2）设O为坐标原点，过O的直线l与C1相交于A，B两点，且l与C2相交于C，D两点．若|CD|=2|AB|，求直线l的方程．

正确答案

解：（1）由题意，椭圆C1：的长半轴长为2，离心率为，

∵椭圆C2以C1的长轴为短轴，

∴椭圆C2的对称中心在原点，焦点在y轴上，

设椭圆C2：，a＞2，

∴，解得a=4，

∴椭圆C2的方程为．

（2）如图，设直线l的方程为y=kx，或x=0（舍），

设B（x1，y1），D（x2，y2），

根据椭圆的对称性，得A（-x1，-y1），C（-x2，-y2），

则=（2x1，2y1），=（2x2，2y2），

∵|CD|=2|AB|，∴，∴x2=2x1，

由方程组，消去y，得（4k2+1）x2-4，解得，

同理，根据直线l与椭圆C2的方程得=，

由x2=2x1，得，

解得k=±1．

∴直线l的方程为x-y=0，或x+y=0．

解析

解：（1）由题意，椭圆C1：的长半轴长为2，离心率为，

∵椭圆C2以C1的长轴为短轴，

∴椭圆C2的对称中心在原点，焦点在y轴上，

设椭圆C2：，a＞2，

∴，解得a=4，

∴椭圆C2的方程为．

（2）如图，设直线l的方程为y=kx，或x=0（舍），

设B（x1，y1），D（x2，y2），

根据椭圆的对称性，得A（-x1，-y1），C（-x2，-y2），

则=（2x1，2y1），=（2x2，2y2），

∵|CD|=2|AB|，∴，∴x2=2x1，

由方程组，消去y，得（4k2+1）x2-4，解得，

同理，根据直线l与椭圆C2的方程得=，

由x2=2x1，得，

解得k=±1．

∴直线l的方程为x-y=0，或x+y=0．

题型：简答题

简答题

已知抛物线y2=x+1，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP：PA=1：2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线．

正确答案

解：设点B的坐标（X，Y），点P的坐标为（x，y），则

∴

∵点B在抛物线上，∴Y2=X+1，

将（1），（2）代入此方程，得

化简得3y2-2y-2x+1=0，

，

因此轨迹为抛物线

解析

解：设点B的坐标（X，Y），点P的坐标为（x，y），则

∴

∵点B在抛物线上，∴Y2=X+1，

将（1），（2）代入此方程，得

化简得3y2-2y-2x+1=0，

，

因此轨迹为抛物线

题型：简答题

简答题

如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2=4x的焦点F．

（Ⅰ）若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；

（Ⅱ）设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点．试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．

正确答案

解法一：（Ⅰ）抛物线的焦点F（1，0），…（1分）

当直线l的斜率不存在时，即x=1不符合题意．…（2分）

当直线l的斜率存在时，

设直线l的方程为：y=k（x-1），即kx-y-k=0．…（3分）

所以，，解得：．…（5分）

故直线l的方程为：，即．…（6分）

（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，证明如下：…（7分）

（法一）：设A（x0，y0），则．…（8分）

因为|BF|=|AF|=x0+1，所以B（-x0，0）．…（9分）

所以直线AB的方程为：，

整理得：…（1）

把方程（1）代入y2=4x得：，…（10分）

，

所以直线AB与抛物线相切．…（12分）

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，证明如下：…（7分）

设A（x0，y0），则．…（8分）

设圆的方程为：，…（9分）

当y=0时，得x=1±（x0+1），

因为点B在x轴负半轴，所以B（-x0，0）．…（9分）

所以直线AB的方程为，

整理得：…（1）

把方程（1）代入y2=4x得：，…（10分）

，

所以直线AB与抛物线相切．…（12分）

解析

解法一：（Ⅰ）抛物线的焦点F（1，0），…（1分）

当直线l的斜率不存在时，即x=1不符合题意．…（2分）

当直线l的斜率存在时，

设直线l的方程为：y=k（x-1），即kx-y-k=0．…（3分）

所以，，解得：．…（5分）

故直线l的方程为：，即．…（6分）

（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，证明如下：…（7分）

（法一）：设A（x0，y0），则．…（8分）

因为|BF|=|AF|=x0+1，所以B（-x0，0）．…（9分）

所以直线AB的方程为：，

整理得：…（1）

把方程（1）代入y2=4x得：，…（10分）

，

所以直线AB与抛物线相切．…（12分）

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，证明如下：…（7分）

设A（x0，y0），则．…（8分）

设圆的方程为：，…（9分）

当y=0时，得x=1±（x0+1），

因为点B在x轴负半轴，所以B（-x0，0）．…（9分）

所以直线AB的方程为，

整理得：…（1）

把方程（1）代入y2=4x得：，…（10分）

，

所以直线AB与抛物线相切．…（12分）

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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