直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

点A，B，C，D在抛物线x2=4y上，A，D关于抛物线的对称轴对称．过点D的切线平行于BC，点D到到AB，AC距离分别为d1，d2，且．

（Ⅰ）试判断△ABC的形状（锐角三角形，直角三角形，钝角三角形），并说明理由；

（Ⅱ）若△ABC的面积为240，求点A的坐标和BC的方程．

正确答案

解：（Ⅰ）由x2=4y得，．设，由导数的几何意义知BC的斜率，

由题意知，设，

则，所以，kAC==，kAB==，

所以kAC=-kAB，∴∠DAC=∠DAB，∴d1=d2，

又由得，

∴∠DAC=∠DAB=45°，故△ABC是直角三角形．

（Ⅱ）由（1）知，不妨设C在AD上方，AB的方程为：，

由得到另一个交点．

由，

由得到另一个交点．

∴，，

∴，

解得x0=±8，∴A（8，16）或（-8，16），

若x0=8时，B（4，4），C（12，36），BC：y=4x-12，

若x0=-8时，B（-12，36），C（-4，4），BC：y=-4x-12．

解析

解：（Ⅰ）由x2=4y得，．设，由导数的几何意义知BC的斜率，

由题意知，设，

则，所以，kAC==，kAB==，

所以kAC=-kAB，∴∠DAC=∠DAB，∴d1=d2，

又由得，

∴∠DAC=∠DAB=45°，故△ABC是直角三角形．

（Ⅱ）由（1）知，不妨设C在AD上方，AB的方程为：，

由得到另一个交点．

由，

由得到另一个交点．

∴，，

∴，

解得x0=±8，∴A（8，16）或（-8，16），

若x0=8时，B（4，4），C（12，36），BC：y=4x-12，

若x0=-8时，B（-12，36），C（-4，4），BC：y=-4x-12．

题型：填空题

填空题

直线l过抛物线y2=x的焦点，且l与抛物线交于A，B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到y轴的距离为______．

正确答案

解析

解：由题意，抛物线y2=x的焦点坐标为（，0），准线方程为x=-

根据抛物线的定义，∵|AB|=4，∴A、B到准线的距离和为4

∴弦AB的中点到准线的距离为2

∴弦AB的中点到y轴的距离为2-=

故答案为：

题型：填空题

填空题

设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足+≤2，则a+b取值范围为______．

正确答案

[2，+∞）

解析

解：曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），

当x，y≥0时，化为ax+by=1；当x≥0，y≤0时，化为ax-by=1；

当x≤0，y≥0时，化为-ax+by=1；当x≤0，y≤0时，

化为-ax-by=1．画出图象：表示菱形ABCD．

由+≤2，即+．

设M（-1，0），N（1，0），

则2|PM|≤2，|BD|≤2，

∴，，

解得b≥1，a≥1，

∴a+b≥1+1=2．

∴a+b取值范围为[2，+∞）．

故答案为：[2，+∞）．

题型：简答题

简答题

如图所示，F是抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，点R（1，4）为抛物线内一定点，点Q为抛物线上一动点，|QR|+|QF|的最小值为5．

（1）求抛物线方程；

（2）已知过点P（0，-1）的直线l与抛物线x2=2py（p＞0）相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，l1、l2分别是该抛物线在A、B两点处的切线，M、N分别是l1、l2与直线y=-1的交点．求直线l的斜率的取值范围并证明|PM|=|PN|．

正确答案

（1）解：设抛物线的准线为QQ‘⊥l于Q'，过Q作QQ'⊥l于Q'，过R作RR'⊥l于R'，由抛物线定义知|QF|=|QQ'|，…（1分）

∴|QR|+|QF|=|QR|+|QQ'|≥|RR'|（折线段大于垂线段），当且仅当R、Q、R'三点共线取等号．…（3分）

由题意知|RR′|=5，

∴，

∴p=2，故抛物线的方程为：x2=4y…（5分）

（2）证明：由已知条件可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y=kx-1，…（6分）

则，∴x2-4ky+4=0，…①…（7分）

依题意，有△=16k2-16＞0，∴k＜-1或k＞1；…（8分）

由x2=4y，∴，∴，…（9分）

所以抛物线在A处的切线l1的方程为：，即．…（10分）

令y=-1，得．…（11分）

同理，得．…（12分）

注意到x1、x2是方程①的两个实根，故x1x2=4，即，…（13分）

从而有，

因此，|PM|=|PN|．…（14分）

解析

（1）解：设抛物线的准线为QQ‘⊥l于Q'，过Q作QQ'⊥l于Q'，过R作RR'⊥l于R'，由抛物线定义知|QF|=|QQ'|，…（1分）

∴|QR|+|QF|=|QR|+|QQ'|≥|RR'|（折线段大于垂线段），当且仅当R、Q、R'三点共线取等号．…（3分）

由题意知|RR′|=5，

∴，

∴p=2，故抛物线的方程为：x2=4y…（5分）

（2）证明：由已知条件可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y=kx-1，…（6分）

则，∴x2-4ky+4=0，…①…（7分）

依题意，有△=16k2-16＞0，∴k＜-1或k＞1；…（8分）

由x2=4y，∴，∴，…（9分）

所以抛物线在A处的切线l1的方程为：，即．…（10分）

令y=-1，得．…（11分）

同理，得．…（12分）

注意到x1、x2是方程①的两个实根，故x1x2=4，即，…（13分）

从而有，

因此，|PM|=|PN|．…（14分）

题型：填空题

填空题

如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为______．

正确答案

1.2

解析

解：如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：y=ax2，因为抛物线经过（5，2），可得a=，

所以抛物线方程：y=，

横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为：

2×=2（）=，

等腰梯形的面积为：=16，当前最大流量的横截面的面积16-，

原始的最大流量与当前最大流量的比值为：=1.2．

故答案为：1.2．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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