直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：

（1）判断曲线C的形状？并写出曲线C与y轴交点的极坐标．

（2）若曲线C与直线x+y+a=0有公共点，求实数a的取值范围．

正确答案

解：（1）把曲线方程化为普通方程，得x2+（y+1）2=1，

可知曲线C是以（0，-1）为圆心，半径为1的圆．

它与y轴的交点为（0，0）、（0，-2）化为极坐标为（0，0）、（2，）；

（2）解：∵，∴x2+（y+1）2=1．

由圆与直线有公共点，得d=≤1，

解得1-≤a≤1+．

∴实数a的取值范围为．

解析

解：（1）把曲线方程化为普通方程，得x2+（y+1）2=1，

可知曲线C是以（0，-1）为圆心，半径为1的圆．

它与y轴的交点为（0，0）、（0，-2）化为极坐标为（0，0）、（2，）；

（2）解：∵，∴x2+（y+1）2=1．

由圆与直线有公共点，得d=≤1，

解得1-≤a≤1+．

∴实数a的取值范围为．

题型：简答题

简答题

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1）．直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点．

（1）求椭圆的方程．

（2）求m的取值范围．

（3）当m=1时，求弦长|AB|的值．

正确答案

解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），则

∵离心率为，∴a2=4b2①

∵椭圆经过点M（4，1），∴②

由①②可得a2=20，b2=5

∴椭圆的方程为；

（2）将直线l：y=x+m代入椭圆，消去y可得5x2+8mx+4m2-20=0

∵直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点

∴△=64m2-20（4m2-20）＞0，

∴-5＜m＜5；

（3）当m=1时，直线y=x+1代入椭圆方程，消去y整理得5x2+8x-16=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=-，

∴|AB|=|x1-x2|===．

解析

解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），则

∵离心率为，∴a2=4b2①

∵椭圆经过点M（4，1），∴②

由①②可得a2=20，b2=5

∴椭圆的方程为；

（2）将直线l：y=x+m代入椭圆，消去y可得5x2+8mx+4m2-20=0

∵直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点

∴△=64m2-20（4m2-20）＞0，

∴-5＜m＜5；

（3）当m=1时，直线y=x+1代入椭圆方程，消去y整理得5x2+8x-16=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=-，

∴|AB|=|x1-x2|===．

题型：单选题

单选题

过点（0，-3）的直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点，则直线l的方程为（　　）

Ax=0或x+3y+9=0

By=-3或x+3y+9=0

Cx=0或y=-3

Dx=0或y=-3或x+3y+9=0

正确答案

解析

解：由题意，斜率不存在时，直线x=0满足题意

斜率存在时，设方程为y=kx-3，代入y2=4x，可得k2x2-（6k+4）x+9=0

∴k=0时，y=-3，满足题意；

k≠0时，△=（6k+4）2-36k2=0，∴k=-，直线方程为x+3y+9=0

综上，直线l的方程为x=0或y=-3或x+3y+9=0．

故选D．

题型：单选题

单选题

过抛物线y2=4x的焦点且斜率为的直线l与抛物线y2=4x交于A、B两点，则|AB|的值为（　　）

正确答案

解析

解：设A（x1，y1），B（x2，y2）

抛物线的焦点为（1，0），则直线方程为y=（x-1），

代入抛物线方程得3x2-10x+3=0

∴x1+x2=

根据抛物线的定义可知|AB|=x1+1+x2+1=

故选A．

题型：简答题

简答题

（1）已知平面上两定点A（-2，0）、B（2，0），且动点M的坐标满足=0，求动点M的轨迹方程；

（2）若把（1）的M的轨迹图象向右平移一个单位，再向下平移一个单位，恰与直线x+ky-3=0 相切，试求实数k的值；

（3）如图1，l是经过椭圆长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是两个焦点，点P∈l，P不与A重合．若∠EPF=α，证明：．类比此结论到双曲线，l是经过焦点F且与实轴垂直的直线，A、B是两个顶点，点P∈l，P不与F重合（如图2）．若∠APB=α，试求角α的取值范围．

正确答案

解：（1）设M（x，y），

由得x2+y2=4，

此即点M的轨迹方程．…（3分）

（2）将x2+y2=4向右平移一个单位，再向下平移一个单位后，

得到圆（x-1）2+（y+1）2=4…（5分）

依题意有，得k=0或…（8分）

（3）（ⅰ）证明：不妨设点P在A的上方，并设P（a，t）（t＞0），

则…（10分）

所以…（12分）

所以．显然α为锐角，即：…（14分）

（ⅱ）不妨设点P在F的上方，并设P（c，t）（t＞0），

则，

所以

由于tanα＞0且，α为锐角，故．…（18分）

解析

解：（1）设M（x，y），

由得x2+y2=4，

此即点M的轨迹方程．…（3分）

（2）将x2+y2=4向右平移一个单位，再向下平移一个单位后，

得到圆（x-1）2+（y+1）2=4…（5分）

依题意有，得k=0或…（8分）

（3）（ⅰ）证明：不妨设点P在A的上方，并设P（a，t）（t＞0），

则…（10分）

所以…（12分）

所以．显然α为锐角，即：…（14分）

（ⅱ）不妨设点P在F的上方，并设P（c，t）（t＞0），

则，

所以

由于tanα＞0且，α为锐角，故．…（18分）

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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