热门试卷

解：（Ⅰ）设c2=a2-b2，由题意c=1，=．解得a=，b=1．

∴椭圆G的方程为．                                            …（5分）

（Ⅱ）存在常数λ=-1．

设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．

联立，可得（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0

于是x1+x2=，x1•x2=．

直线AM的斜率t1=，联立，可得

（）x2-8x+2（4-1）=0

则x1•x3=，进一步可得x3=．

将t1=代入，则x3=

同理可得x4=．

则y3=，y4=

由，两式相减可得，

k1=-k综上可知，存在常数λ=-1．                                   …（15分）

解：（1）由题意，=，=1，

∴a=2，b=1，

∴椭圆C的方程为；

（2）设在x轴上存在定点Q（t，0），使与x轴垂直．

设直线l的方程为x-p=ky，M（x1，y1），N（x2，y2）．

由=，得y1+λy2=0．

即λ=-①

∵=（4，0），=（x1-t-λx2+λt，y1-λy2），

∴x1-t-λx2+λt=0，

∴x1-t=λ（x2-t），

即ky1+p-t=λ（ky2+p-t）②

①代入②得2ky1y2+（p-t）（y1+y2）=0③

把x=p+ky代入椭圆，消去x可得（k2+4）y2+2kpy+p2-4=0，

∴y1+y2=-，y1y2=，

代入③化简可得pt=4，当t=时，上式恒成立，

因此，在x轴上存在定点Q（，0），使与x轴垂直．

解：（Ⅰ）设M（x，y），P（0，y‘），Q（x'，0）（x'＞0）∵，．

∴且（3，y'）•（x，y-y'）=0…（2分）

∴．…（3分）∴y2=4x（x＞0）…（4分）

∴动点M的轨迹C是以O（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线（除去原点）．…（5分）

（Ⅱ）：（1）当直线l垂直于x轴时，根据抛物线的对称性，有∠AED=∠BED；…（6分）

（2）当直线l与x轴不垂直时，依题意，可设直线l的方程为y=k（x-m）（k≠0，m＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点的坐标满足方程组

消去x并整理，得ky2-4y-4km=0∴…（7分）

设直线AE和BE的斜率分别为k1、k2，则k1+k2=====…（9分）

∴tan∠AED+tan（180°-∠BED）=0∴tan∠AED=tan∠BED∵，

∴∠AED=∠BED．综合（1）、（2）可知∠AED=∠BED．…（10分）

（Ⅲ）假设存在满足条件的直线l'，其方程为x=a，AD的中点为O'，

l'与AD为直径的圆相交于点F、G，FG的中点为H，则O'H⊥FG，O'点的坐标为．

∵=，，

∴|FH|2=|O'F|2-|O'H|2==（a-m+1）x1+a（m-a）…（12分）

∴|FG|2=（2|FH|）2=4[（a-m+1）x1+a（m-a）]

令a-m+1=0，得a=m-1

此时，|FG|2=4（m-1）

∴当m-1＞0，即m＞1时，（定值）

∴当m＞1时，满足条件的直线l'存在，其方程为x=m-1；当0＜m≤1时，满足条件的直线l'不存在．…（14分）

解：（1）抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，

可设抛物线方程为y2=2px，准线为x=-，

由于准线l与x轴相交于点A（-1，0），则=1，解得p=2，

则抛物线方程为y2=4x；

（2）显然直线AP的斜率不为0，则设直线AP：y=k（x+1），代入抛物线方程，

消去y，得，k2x2+（2k2-4）x+k2=0，

则判别式△=（2k2-4）2-4k4＞0，解得，-1＜k＜1．

x1+x2=，x1x2=1，y1y2==4，

由于，则（x1-1）（x2-1）+y1y2=0，

即有x1x2-（x1+x2）+1+4=0，

即6-=0，解得，k2=，即k=．

检验满足-1＜k＜1，

则所求直线PQ的方程为：y=（x+1）．