直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

已知椭圆C：+=1的离心率为，椭圆C的右焦点F和抛物线G：y2=4x的焦点相同．

（1）求椭圆C的方程．

（2）如图，已知直线l：y=kx+2与椭圆C及抛物线G都有两个不同的公共点，且直线l与椭圆C交于A，B两点；过焦点F的直线l′与抛物线G交于C，D两点，记，求λ的取值范围．

正确答案

解：（1）椭圆的离心率，抛物线y2=4x的焦点为（1，0），

所以椭圆中的c=1，a=2，b2=3．所以椭圆的方程为；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则

由，消去y可得（3+4k2）x2+16kx+4=0（①），

由解得或；

由消去y可得k2x2+4（k-1）x+4=0，

由

解得，所以．

由①可得，

y1•y2=（kx1+2）•（kx2+2）=k2x1•x2+2k（x1+x2）+4=，

所以，

当l‘的斜率不存在时，C（1，2），D（1，-2），此时，；

当l'的斜率存在时，设l'的方程为y=m（x-1），（m≠0），

由消去y可得m2x2-（2m2+4）x+m2=0，

所以x3•x4=1，，

所以，

则λ==，

因为，所以，

所以．

解析

解：（1）椭圆的离心率，抛物线y2=4x的焦点为（1，0），

所以椭圆中的c=1，a=2，b2=3．所以椭圆的方程为；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则

由，消去y可得（3+4k2）x2+16kx+4=0（①），

由解得或；

由消去y可得k2x2+4（k-1）x+4=0，

由

解得，所以．

由①可得，

y1•y2=（kx1+2）•（kx2+2）=k2x1•x2+2k（x1+x2）+4=，

所以，

当l‘的斜率不存在时，C（1，2），D（1，-2），此时，；

当l'的斜率存在时，设l'的方程为y=m（x-1），（m≠0），

由消去y可得m2x2-（2m2+4）x+m2=0，

所以x3•x4=1，，

所以，

则λ==，

因为，所以，

所以．

题型：填空题

填空题

若直线y=kx+2与抛物线y2=4x仅有一个公共点，则实数k=______．

正确答案

0，

解析

解：当斜率k=0 时，直线y=kx+2平行于x轴，与抛物线y2=4x仅有一个公共点．

当斜率不等于0时，把y=kx+2 代入抛物线y2=4x得 k2x2+（4k-4 ）x+4=0，由题意可得，此方程有唯一解，

故判别式△=（4k-4）2-16k2=0，∴k=，

故答案为0，或．

题型：简答题

简答题

椭圆E：+=1内有一点P（1，1）．

（1）求经过P并且以P为中点的弦所在直线方程；

（2）如果直线l：x=my+4与椭圆E相交于A、B两点，求•的取值范围．

正确答案

解：（1）设以P为中点的弦的直线与椭圆相交于C（x1，y1），D（x2，y2），

即有+=1，+=1，

两式相减得+=0，

又x1+x2=2，y1+y2=2，

则k==-，

则所求直线方程为y-1=-（x-1），即3x+4y-7=0；

（2）设直线l：x=my+4与椭圆E相交于A（x3，y3），B（x4，y4）两点，

可得（4+3m2）y2+24my+36=0，

y3+y4=-，y3y4=，

则x3x4=（my3+4）（my4+4）=m2y3y4+4m（y3+y4）+16=，

则•=x3x4+y3y4==-4+，

由△=（24m）2-4（4+3m2）•36＞0，可得m2＞4，

则•的取值范围是（-4，）．

解析

解：（1）设以P为中点的弦的直线与椭圆相交于C（x1，y1），D（x2，y2），

即有+=1，+=1，

两式相减得+=0，

又x1+x2=2，y1+y2=2，

则k==-，

则所求直线方程为y-1=-（x-1），即3x+4y-7=0；

（2）设直线l：x=my+4与椭圆E相交于A（x3，y3），B（x4，y4）两点，

可得（4+3m2）y2+24my+36=0，

y3+y4=-，y3y4=，

则x3x4=（my3+4）（my4+4）=m2y3y4+4m（y3+y4）+16=，

则•=x3x4+y3y4==-4+，

由△=（24m）2-4（4+3m2）•36＞0，可得m2＞4，

则•的取值范围是（-4，）．

题型：填空题

填空题

若斜率为的直线l与椭圆+=1（a＞b＞0）有两个不同的交点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为______．

正确答案

解析

解：由题意知：两交点的横坐标为-c，c，纵坐标分别为-，，

∴由=

转化为：2b2=2（a2-c2）=ac

即2e2+e-2=0，

解得e=（负根舍去）．

故答案为：

题型：简答题

简答题

椭圆C的中心为坐标原点O，点A1，A2分别是椭圆的左、右顶点，B为椭圆的上顶点，一个焦点为F（，0），离心率为．点M是椭圆C上在第一象限内的一个动点，直线A1M与y轴交于点P，直线A2M与y轴交于点Q．

（I）求椭圆C的标准方程；

（II）若把直线MA1，MA2的斜率分别记作k1，k2，求证：k1k2=-；

（III）是否存在点M使|PB|=|BQ|，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．

正确答案

（I）解：由题意，可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），则c=，，

所以a=2，b2=a2-c2=1，

所以椭圆C的方程为=1．

（II）证明：由椭圆C的方程可知，点A1的坐标为（-2，0），点A2的坐标为（2，0），

设动点M的坐标为（x0，y0），由题意可知0＜x0＜2，y0＞0，

直线MA1的斜率＞0，直线MA2的斜率＜0，

所以，

因为点M（x0，y0）在椭圆=1上，

所以，即，

所以k1k2==-；

（III）设直线MA1的方程为y=k1（x+2），令x=0，得y=2k1，所以点P的坐标为（0，2k1），

设直线MA2的方程为y=k2（x-2），令x=0，得y=-2k2，所以点Q的坐标为（0，-2k2），

由椭圆方程可知，点B的坐标为（0，1），

由|PB|=|BQ|，得，

由题意，可得1-2k1=（-2k2-1），

整理得4k1-2k2=3，与k1k2=-联立，消k1可得2+3k2+1=0，

解得k2=-1或，

所以直线MA2的直线方程为y=-（x-2）或y=-（x-2），

因为y=-（x-2）与椭圆交于上顶点，不符合题意．

把y=-（x-2）代入椭圆方程，得5x2-16x+12=0，

解得x=或2，

因为0＜x0＜2，所以点M的坐标为（）．

解析

（I）解：由题意，可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），则c=，，

所以a=2，b2=a2-c2=1，

所以椭圆C的方程为=1．

（II）证明：由椭圆C的方程可知，点A1的坐标为（-2，0），点A2的坐标为（2，0），

设动点M的坐标为（x0，y0），由题意可知0＜x0＜2，y0＞0，

直线MA1的斜率＞0，直线MA2的斜率＜0，

所以，

因为点M（x0，y0）在椭圆=1上，

所以，即，

所以k1k2==-；

（III）设直线MA1的方程为y=k1（x+2），令x=0，得y=2k1，所以点P的坐标为（0，2k1），

设直线MA2的方程为y=k2（x-2），令x=0，得y=-2k2，所以点Q的坐标为（0，-2k2），

由椭圆方程可知，点B的坐标为（0，1），

由|PB|=|BQ|，得，

由题意，可得1-2k1=（-2k2-1），

整理得4k1-2k2=3，与k1k2=-联立，消k1可得2+3k2+1=0，

解得k2=-1或，

所以直线MA2的直线方程为y=-（x-2）或y=-（x-2），

因为y=-（x-2）与椭圆交于上顶点，不符合题意．

把y=-（x-2）代入椭圆方程，得5x2-16x+12=0，

解得x=或2，

因为0＜x0＜2，所以点M的坐标为（）．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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