直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

抛物线C的方程为y=ax2（a＜0），过抛物线C上一点P任作斜率为k1，k2的两条直线，分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（P，A，B三点互不相同），

（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；

（2）若点P为抛物线C的顶点，且直线AB过点（0，），求证：k1•k2是一个定值；

（3）若点P的坐标为（1，-1），且k1+k2=0，求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围．

正确答案

（1）解：由抛物线C的方程y=ax2（a＜0）即x2=y，得，

焦点坐标为，准线方程为．

（2）证明：设直线，

联立y=ax2，消去y得，

消去x得；，

k1•，

故k1•k2是一个定值-1；

（3）解：因为点P（1，-1）在抛物线y=ax2上，

所以a=-1，抛物线方程为y=-x2．

设直线PA：y+1=k1（x-1），联立y=-x2，得x2+k1x-k-1=0，

则x1=-k1-1，代入y=-x2得．

同理可得x2=k1-1，代入y=-x2得．

因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为，．

于是，，

则．

因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有．

求得k1的取值范围是k1＜-2或．又点A的纵坐标y1满足，

故当k1＜-2时，y1＜-1；当时，．

即．

解析

（1）解：由抛物线C的方程y=ax2（a＜0）即x2=y，得，

焦点坐标为，准线方程为．

（2）证明：设直线，

联立y=ax2，消去y得，

消去x得；，

k1•，

故k1•k2是一个定值-1；

（3）解：因为点P（1，-1）在抛物线y=ax2上，

所以a=-1，抛物线方程为y=-x2．

设直线PA：y+1=k1（x-1），联立y=-x2，得x2+k1x-k-1=0，

则x1=-k1-1，代入y=-x2得．

同理可得x2=k1-1，代入y=-x2得．

因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为，．

于是，，

则．

因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有．

求得k1的取值范围是k1＜-2或．又点A的纵坐标y1满足，

故当k1＜-2时，y1＜-1；当时，．

即．

题型：单选题

单选题

设椭圆的上顶点为A，点B、C在椭圆上，且左、右焦点F1，F2分别在等腰三角形ABC两腰AB和AC上．若椭圆的离心率e=，则原点O是△ABC的（　　）

A外心

B内心

C重心

D垂心

正确答案

解析

解：因为椭圆的离心率e=，

所以设C=，则a=3，b=，

所以椭圆的方程为：，

所以A（0，）

F1（-，0），F2（，0），所以AF2的方程为：，

联立直线与椭圆方程可得：，

消去x化简可得：，解得y=或y=-，

所以C（），则B（），

O的坐标（0，0），满足，；

所以O是三角形△ABC的重心．

故选C．

题型：简答题

简答题

已知中心在原点，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2，满足4k=k1+k2，求m2的值．

正确答案

解：（ I）设椭圆的方程为，

由题意可得，

解得a=2，b=1，．

∴椭圆的方程．

（ II）由得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，

∵直线l与该椭圆交于P、Q两点，∴△=64k2m2-4（4k2+1）（4m2-4）＞0，

化为4k2+1＞m2．（*）

∴，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，

===，

化为，

∴，满足（*）．

故．

解析

解：（ I）设椭圆的方程为，

由题意可得，

解得a=2，b=1，．

∴椭圆的方程．

（ II）由得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，

∵直线l与该椭圆交于P、Q两点，∴△=64k2m2-4（4k2+1）（4m2-4）＞0，

化为4k2+1＞m2．（*）

∴，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，

===，

化为，

∴，满足（*）．

故．

题型：填空题

填空题

设双曲线C：（a＞0）与直线l：y+x=1相交于两不同点A，B，设直线l与y轴交点为P，且=，则a=______．

正确答案

解析

解：把直线与双曲线方程联立消去y得（1-a2）x2+2a2x-2a2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，1），

∵=，

∴（x1，y1-1）=（x2，y2-1），

求得x1=x2，

∵x1+x2=x2=-，x1x2=x22=-，

消去x2得-=，a=

故答案为：

题型：简答题

简答题

已知定圆A：（x+）2+y2=16的圆心A，动圆M过点B（，0），且与圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C．

（1）求曲线C的方程；

（2）设不垂直于x轴的直线l与上述曲线C交于不同的两点P，Q，点D（-3，0），若x轴是∠PDQ的角平分线，证明直线l过定点．

正确答案

（1）解：圆A的圆心为A（-，0），半径r1=4，

设动圆M的圆心M（x，y），半径为r2，依题意有，r2=|MB|．

由|AB|=2，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，

故|MA|=r1-r2，即|MA|+|MB|=4，

所以，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，

设椭圆方程为=1，由2a=4，2c=2，可得a2=4，b2=1．

故曲线C的方程为+y2=1；

（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），

由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0，

设直线PQ的方程为y=kx+t，联立椭圆方程，消去y，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2-4=0，

则x1+x2=，x1x2=，y1=kx1+t，y2=kx2+t，

∵x轴是∠PDQ的角平分线，∴kPD=-kQD，∴=0，

即有x1y2+x2y1+3（y1+y2）=0，即有（3k+t）（x1+x2）+2kx1x2+6t=0，

即有（3k+t）•+2k•+6t=0，化简可得，k=t，

即有直线PQ的方程为y=tx+t，即为y=t（x）．令y=0，则x=-．

则直线l过定点（-，0）．

解析

（1）解：圆A的圆心为A（-，0），半径r1=4，

设动圆M的圆心M（x，y），半径为r2，依题意有，r2=|MB|．

由|AB|=2，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，

故|MA|=r1-r2，即|MA|+|MB|=4，

所以，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，

设椭圆方程为=1，由2a=4，2c=2，可得a2=4，b2=1．

故曲线C的方程为+y2=1；

（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），

由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0，

设直线PQ的方程为y=kx+t，联立椭圆方程，消去y，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2-4=0，

则x1+x2=，x1x2=，y1=kx1+t，y2=kx2+t，

∵x轴是∠PDQ的角平分线，∴kPD=-kQD，∴=0，

即有x1y2+x2y1+3（y1+y2）=0，即有（3k+t）（x1+x2）+2kx1x2+6t=0，

即有（3k+t）•+2k•+6t=0，化简可得，k=t，

即有直线PQ的方程为y=tx+t，即为y=t（x）．令y=0，则x=-．

则直线l过定点（-，0）．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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