热门试卷

解：（Ⅰ）椭圆+=1的左焦点为（-，0），抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线x=-，

∴-=-，

∴p=2，

∴抛物线C的方程为y2=4x；

（Ⅱ）由已知得直线l的斜率一定存在，所以设l：y=k（x-1），l与y轴交于M（0，-k），

设直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），

直线l代入抛物线方程，可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0

∴x1+x2=2+，x1x2=1

∵=a，∴（x1，y1+k）=（1-x1，-y1），∴a=，

同理b=，

∴a+b=+=-1，

∴对任意的直线l，a+b为定值-1．

解：（1）∵四边形F1AF2B是边长为2 的正方形，∴a=2，b=c，

∵a2=b2+c2，∴b=c=．

∴椭圆的方程为．

（2）判断是定值4．下面给出证明：

设M（2，m），P（s，t），C（-2，0）．

则直线CM的方程为：，联立，

化为（8+m2）x2+4m2x+4m2-32=0，

∵直线与椭圆有两个交点，∴△=16m4-4（8+m2）（4m2-32）＞0，化为1＞0．

∴-2×s=，解得．

∴．∴P．

∴===4为定值．

解：（Ⅰ）由，解得A（16，8），B（1，-2），则，

因为原点到直线AB的距离为，所以．

（Ⅱ）假设存在两点M、N关于AB对称，设M（x1，y1），N（x2，y2）

则，设MN：与y2=4x，消x得3y2+8y-8m=0，△=64+4×3×8m＞0，

∴，则，，

所以线段MN中点在直线l：2x-3y-8=0上解得满足．

故存在M、N关于直线AB对称，直线MN：9x+6y-10=0．

解：（1）设P（x，y），由已知得

化简得，

所以点P的轨迹方程为（x≠±2）．------------（3分）

（2）解法1：设点P（x0，y0），PB的中点为Q，则，，

即以PB为直径的圆的圆心为，半径为，

又圆x2+y2=4的圆心为O（0，0），半径r2=2，=，

故|OQ|=r2-r1，即两圆内切．------------------（7分）

解法2：由椭圆的定义得|PM|+|PN|=2a=4

圆心距

所以以PB为直径的圆与圆x2+y2=4内切．

（3）解法1：

若直线PN的斜率不存在，则PN：x=-1，解得，|PN|=3，；

若直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=k（x+1）（k≠0），

由得（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0，

设P（x1，y1），N（x2，y2），△=64k4-4（4k2+3）（4k2-12）=144（k2+1），，

原点O到直线PN的距离，

所以

设4k2+3=t，则t＞3，则有

因为，所以．

综上所述，S△PON的最大值为．------------------（12分）

解法2：设直线PN的方程为x=my-1．

由得（3m2+4）y2-6my-9=0，

设P（x1，y1），N（x2，y2），△=144（m2+1），，

设3m2+4=t，则t≥4，则有．

因为，所以当，即t=4，m=0时，S△PON的最大值为．------------------（12分）