直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-的直线l与C交于A、B两点，点P满足．

（Ⅰ）证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．

正确答案

证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）

椭圆C： ①，则直线AB的方程为：y=-x+1 ②

联立方程可得4x2-2x-1=0，

则x1+x2=，x1×x2=-

则y1+y2=-（x1+x2）+2=1

设P（p1，p2），

则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；

∴+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=-（+）=（-，-1）

∴p的坐标为（-，-1）代入①方程成立，所以点P在C上．

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．

设线段AB的中点坐标为（，），即（，），

则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y-=（x-），即y=x+；③

∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，

则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=-x④；

③④联立方程组，解之得：x=-，y=

③④的交点就是圆心O1（-，），

r2=|O1P|2=（--（-））2+（-1-）2=

故过P Q两点圆的方程为：（x+）2+（y-）2=…⑤，

把y=-x+1 …②代入⑤，

有x1+x2=，y1+y2=1

∴A，B也是在圆⑤上的．

∴A、P、B、Q四点在同一圆上．

解析

证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）

椭圆C： ①，则直线AB的方程为：y=-x+1 ②

联立方程可得4x2-2x-1=0，

则x1+x2=，x1×x2=-

则y1+y2=-（x1+x2）+2=1

设P（p1，p2），

则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；

∴+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=-（+）=（-，-1）

∴p的坐标为（-，-1）代入①方程成立，所以点P在C上．

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．

设线段AB的中点坐标为（，），即（，），

则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y-=（x-），即y=x+；③

∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，

则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=-x④；

③④联立方程组，解之得：x=-，y=

③④的交点就是圆心O1（-，），

r2=|O1P|2=（--（-））2+（-1-）2=

故过P Q两点圆的方程为：（x+）2+（y-）2=…⑤，

把y=-x+1 …②代入⑤，

有x1+x2=，y1+y2=1

∴A，B也是在圆⑤上的．

∴A、P、B、Q四点在同一圆上．

题型：简答题

简答题

（2015秋•天津期末）给定椭圆C：=1（a＞b＞0），称圆x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的短轴长为2，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，与其“伴随圆”交于C，D两点，当|CD|=时，求△AOB面积的最大值．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意得，e2==1-=，

又∵b=1，∴a2=3，

∴椭圆C的方程为+y2=1，

（Ⅱ）“伴随圆”的方程为x2+y2=4，

①当CD⊥x轴时，由|CD|=，得|AB|=．

②当CD与x轴不垂直时，由|CD|=，得圆心O到CD的距离为．

设直线CD的方程为y=kx+m，则由=，得m2=（k2+1），

设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0．

∴x1+x2=，x1x2=．

当k≠0时，|AB|2=（1+k2）（x1-x2）2，

=（1+k2）[-]，

=，

=3+，

≤3+=4，

当且仅当9k2=，即k=±时等号成立，此时|AB|=2．

当k=0时，|AB|=，综上所述：|AB|max=2，

此时△AOB的面积取最大值S=|AB|max×=．

解析

解：（Ⅰ）由题意得，e2==1-=，

又∵b=1，∴a2=3，

∴椭圆C的方程为+y2=1，

（Ⅱ）“伴随圆”的方程为x2+y2=4，

①当CD⊥x轴时，由|CD|=，得|AB|=．

②当CD与x轴不垂直时，由|CD|=，得圆心O到CD的距离为．

设直线CD的方程为y=kx+m，则由=，得m2=（k2+1），

设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0．

∴x1+x2=，x1x2=．

当k≠0时，|AB|2=（1+k2）（x1-x2）2，

=（1+k2）[-]，

=，

=3+，

≤3+=4，

当且仅当9k2=，即k=±时等号成立，此时|AB|=2．

当k=0时，|AB|=，综上所述：|AB|max=2，

此时△AOB的面积取最大值S=|AB|max×=．

题型：填空题

填空题

设抛物线y2=8x与其过焦点的斜率为1的直线交于A、B两点，O为坐标原点，则•______．

正确答案

-12

解析

解：抛物线y2=8x中，p=4，=2，故抛物线的焦点的坐标为（2，0），设A、B两点的坐标分别为

（x1，y1）和（x2，y2 ），由题意有可得直线AB的方程为 y-0=x-2，即 y=x-2，

代入抛物线y2=8x的方程化简可得 x2-12x+4=0，∴x1+x2=12，x1•x2=4，

∴y1•y2=（x1-2）（x2-2）=x1•x2-2（x1+x2）+4=-16，

∴=（x1，y1）•（x2，y2 ）=x1•x2+y1•y2=4-16=-12，

故答案为-12．

题型：单选题

单选题

直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，则直线与抛物线交点的横坐标为（　　）

正确答案

解析

解：如图所示，

令x-x2=0，解得x=0，1．

联立，

解得O（0，0），B（1-k，k-k2）．

∵直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，

∴=2，

化为=，

∴．

∴直线与抛物线交点的横坐标为．

故选：C．

题型：简答题

简答题

已知O为坐标原点，点A、B分别在x轴，y轴上运动，且|AB|=8，动点P满足=，设点P的轨迹为曲线C，定点为M（4，0），直线PM交曲线C于另外一点Q．

（1）求曲线C的方程；

（2）求△OPQ面积的最大值．

正确答案

解：（1）设A（a，0），B（0，b），P（x，y），

则=（x-a，y），=（-x，b-y），

∵=，∴∴a=x，b=y．

又|AB|==8，∴=1．

∴曲线C的方程为=1．

（2）由（1）可知，M（4，0）为椭圆的右焦点，

设直线PM方程为x=my+4，

由消去x得

（9m2+25）y2+72my-81=0，

∴|yP-yQ|==．

∴S△OPQ=|OM||yP-yQ|=2×===≤=，

当=，

即m=±时，△OPQ的面积取得最大值为，

此时直线方程为3x±y-12=0．

解析

解：（1）设A（a，0），B（0，b），P（x，y），

则=（x-a，y），=（-x，b-y），

∵=，∴∴a=x，b=y．

又|AB|==8，∴=1．

∴曲线C的方程为=1．

（2）由（1）可知，M（4，0）为椭圆的右焦点，

设直线PM方程为x=my+4，

由消去x得

（9m2+25）y2+72my-81=0，

∴|yP-yQ|==．

∴S△OPQ=|OM||yP-yQ|=2×===≤=，

当=，

即m=±时，△OPQ的面积取得最大值为，

此时直线方程为3x±y-12=0．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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