直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

· 直线与圆锥曲线的综合问题

直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：简答题

简答题

已知椭圆．

（1）直线AB过椭圆Γ的中心交椭圆于A、B两点，C是它的右顶点，当直线AB的斜率为1时，求△ABC的面积；

（2）设直线l：y=kx+2与椭圆Γ交于P、Q两点，且线段PQ的垂直平分线过椭圆Γ与y轴负半轴的交点D，求实数k的值．

正确答案

解：（1）依题意，，，直线AB的方程为y=x，

由，得，

设A（x1，y1）B（x2，y2），∵，

∴；

（2）由得（3k2+1）x2+12kx=0，△=（12k）2≥0，

依题意，k≠0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点H（x0，y0），

则，，D（0，-2），

由kDH•kPQ=-1，得，解得．

所以实数k的值为．

解析

解：（1）依题意，，，直线AB的方程为y=x，

由，得，

设A（x1，y1）B（x2，y2），∵，

∴；

（2）由得（3k2+1）x2+12kx=0，△=（12k）2≥0，

依题意，k≠0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点H（x0，y0），

则，，D（0，-2），

由kDH•kPQ=-1，得，解得．

所以实数k的值为．

题型：简答题

简答题

已知椭圆C的焦点分别为F1（-2，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点．求：线段AB的中点坐标．

正确答案

解：设椭圆C的方程为+=1，

由题意a=3，c=2，

b==1．（3分）

∴椭圆C的方程为+y2=1．（5分）

联立方程组，消y得10x2+36x+27=0，

因为该二次方程的判别式△＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，（9分）

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，

故线段AB的中点坐标为（-，）．（12分）

解析

解：设椭圆C的方程为+=1，

由题意a=3，c=2，

b==1．（3分）

∴椭圆C的方程为+y2=1．（5分）

联立方程组，消y得10x2+36x+27=0，

因为该二次方程的判别式△＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，（9分）

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，

故线段AB的中点坐标为（-，）．（12分）

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：的离心率，一条准线方程为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设G，H为椭圆上的两个动点，O为坐标原点，且OG⊥OH．

①当直线OG的倾斜角为60°时，求△GOH的面积；

②是否存在以原点O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）因为椭圆的离心率，一条准线方程为．

所以，，a2=b2+c2，…（2分）

解得，

所以椭圆方程为． …（4分）

（2）①由，解得，…（6分）

由得，…（8分）

所以，所以．…（10分）

②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OG•OH=R•GH

因为OG2+OH2=GH2，故，

当OG与OH的斜率均存在时，不妨设直线OG方程为：y=kx，与椭圆方程联立，可得，

∴

同理可得

∴，∴R=

当OG与OH的斜率有一个不存在时，可得

故满足条件的定圆方程为x2+y2=．

解析

解：（1）因为椭圆的离心率，一条准线方程为．

所以，，a2=b2+c2，…（2分）

解得，

所以椭圆方程为． …（4分）

（2）①由，解得，…（6分）

由得，…（8分）

所以，所以．…（10分）

②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OG•OH=R•GH

因为OG2+OH2=GH2，故，

当OG与OH的斜率均存在时，不妨设直线OG方程为：y=kx，与椭圆方程联立，可得，

∴

同理可得

∴，∴R=

当OG与OH的斜率有一个不存在时，可得

故满足条件的定圆方程为x2+y2=．

题型：填空题

填空题

已知点P是抛物线x2=4y上一个动点，过点作圆x2+（y-4）2=1的两条切线，切点分别为M，N，则线段MN长度的最小值为______．

正确答案

解析

解：圆x2+（y-4）2=1的圆心C（0，4），半径r=1．

设P，

∵|PC|==．

则|PM|==，

∴|MN|=2×==2，

当时，|MN|取得最小值=．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

已知圆，直线l：y=x+m（m＞0）与圆C1相切，且交椭圆于A1，B1两点，c是椭圆C2的半焦距，．

（1）求m的值；

（2）O为坐标原点，若，求椭圆C2的方程；

（3）在（2）的条件下，设椭圆C2的左、右顶点分别为A，B，动点S（x1，y1）∈C2（y1＞0）直线AS，BS与直线分别交于M，N两点，求线段MN的长度的最小值．

正确答案

解：（1）∵直线l：y=x+m（m＞0）与圆C1相切，

∴，∴m=；

（2）直线l：y=x+代入椭圆，可得：

（b2+a2）x2++-a2b2=0

设A1（x1，y1），B1（x2，y2），则：

x1+x2=-，x1x2=，y1y2=，

∵，

∴x1x2+y1y2=+=0，

∴4（b2+a2）-5a2b2=0，

∵，

∴a2=4b2，

∴a=2，b=1，

∴椭圆C的方程为；

（3 ）易知椭圆C的左，右顶点坐标为A（-2，0），B（2，0），直线AS的斜率k显然存在，且k＞0，

故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而M（）

由，得（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0

设S（x0，y0），则，得x0=，

从而，即S（，）．

又B（2，0），故直线BS的方程为y=-（x-2），

时，y=，

∴N（，-），

又k＞0，∴|MN|=≥2=，

当且仅当时，即k=时等号成立，

∴k=时，线段MN的长度取最小值．

解析

解：（1）∵直线l：y=x+m（m＞0）与圆C1相切，

∴，∴m=；

（2）直线l：y=x+代入椭圆，可得：

（b2+a2）x2++-a2b2=0

设A1（x1，y1），B1（x2，y2），则：

x1+x2=-，x1x2=，y1y2=，

∵，

∴x1x2+y1y2=+=0，

∴4（b2+a2）-5a2b2=0，

∵，

∴a2=4b2，

∴a=2，b=1，

∴椭圆C的方程为；

（3 ）易知椭圆C的左，右顶点坐标为A（-2，0），B（2，0），直线AS的斜率k显然存在，且k＞0，

故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而M（）

由，得（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0

设S（x0，y0），则，得x0=，

从而，即S（，）．

又B（2，0），故直线BS的方程为y=-（x-2），

时，y=，

∴N（，-），

又k＞0，∴|MN|=≥2=，

当且仅当时，即k=时等号成立，

∴k=时，线段MN的长度取最小值．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

百度题库 > 高考 > 数学 > 直线与圆锥曲线的综合问题

扫码查看完整答案与解析