直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

已知椭圆c：+=1（a＞）的右焦点F在圆D：（x-2）2+y2=1上，直线l：x=my+3（m≠0交椭圆于M、N两点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若（O为坐标原点），求m的值；

（Ⅲ）设点N关于x轴的对称点为N1（N1与点M不重合），且直线N1M与x轴交于点P，试问△PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）由圆D：（x-2）2+y2=1，令y=0，解得x=3或1．

∵，∴取右焦点F（3，0），得a2=3+32=12＞10．

∴椭圆C的方程为

（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）．

联立，消去x化为（m2+4）y2+6ny-3=0，

得到，．

∴x1+x2=m（y1+y2）+6=，=．

∵，∴．

∴x1x2+y1y2=0，代入得，化为，解得，即m为定值．

（Ⅲ）∵M（x1，y1），N1（x2，-y2），

∴直线N1M的方程为，

令y=0，则====4，

∴P（4，0），得到|FP|=1．

∴=

===1，

当且仅当，即时取等号．

故△PMN的面积存在最大值1．

解析

解：（Ⅰ）由圆D：（x-2）2+y2=1，令y=0，解得x=3或1．

∵，∴取右焦点F（3，0），得a2=3+32=12＞10．

∴椭圆C的方程为

（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）．

联立，消去x化为（m2+4）y2+6ny-3=0，

得到，．

∴x1+x2=m（y1+y2）+6=，=．

∵，∴．

∴x1x2+y1y2=0，代入得，化为，解得，即m为定值．

（Ⅲ）∵M（x1，y1），N1（x2，-y2），

∴直线N1M的方程为，

令y=0，则====4，

∴P（4，0），得到|FP|=1．

∴=

===1，

当且仅当，即时取等号．

故△PMN的面积存在最大值1．

题型：简答题

简答题

已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2．

（1）若点A（0，b）与焦点F1、F2构成△AF1F2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率．

（2）若椭圆E的离心率为，过点P（0，1）的直线与椭圆交于B、C两点，且当点B、C关于y轴对称时，|BC|=，求椭圆E的方程．

正确答案

解：（1）△AF1F2为等腰直角三角形，

则|OA|=|OF1|，即b=c，

c=，即有c=a，

e==；

（2）由e==，可得a2=4c2=4（a2-b2），

即3a2=4b2，①

由B，C关于y轴对称，设B（m，n），C（-m，n），

|BC|=2|m|，又P为BC的中点，则2n=2，即n=1，

由+=1可得|m|=，

由题意可得=，②

由①②解得a2=4，b2=3，

则椭圆方程为+=1．

解析

解：（1）△AF1F2为等腰直角三角形，

则|OA|=|OF1|，即b=c，

c=，即有c=a，

e==；

（2）由e==，可得a2=4c2=4（a2-b2），

即3a2=4b2，①

由B，C关于y轴对称，设B（m，n），C（-m，n），

|BC|=2|m|，又P为BC的中点，则2n=2，即n=1，

由+=1可得|m|=，

由题意可得=，②

由①②解得a2=4，b2=3，

则椭圆方程为+=1．

题型：单选题

单选题

已知两点M（1，），N（-4，-），给出下列曲线方程：

①4x+2y-1=0；

②x2+y2=3；

③+y2=1；

④-y2=1．

在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（　　）

A①③

B②④

C①②③

D②③④

正确答案

解析

解：要使这些曲线上存在点P满足|MP|=|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交．

MN的中点坐标为（-，0），MN斜率为=

∴MN的垂直平分线为y=-2（x+），

∵①4x+2y-1=0与y=-2（x+），斜率相同，两直线平行，可知两直线无交点，进而可知①不符合题意．

②x2+y2=3与y=-2（x+），联立，消去y得5x2-12x+6=0，△=144-4×5×6＞0，可知②中的曲线与MN的垂直平分线有交点，

③中的方程与y=-2（x+），联立，消去y得9x2-24x-16=0，△＞0可知③中的曲线与MN的垂直平分线有交点，

④中的方程与y=-2（x+），联立，消去y得7x2-24x+20=0，△＞0可知④中的曲线与MN的垂直平分线有交点，

故选D

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：的左、右焦点为F1、F2，椭圆C上的点满足．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）自定点Q（0，-2）作一条直线l与椭圆C交于不同的两点A、B（点B在点A的下方），记，求λ的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）设F1（-c，0），F2（c，0），其中，

于是，，

则由，得，

解得c2=3．

又点P在椭圆C上，∴，即．

又a2-b2=c2=3，∴b2=a2-3．

联立以上两式并整理得3a4-18a2+24=0，解得a2=2（舍），或a2=4．

∴b2=1．

于是，所求的椭圆C的标准方程为；

（Ⅱ）由题可知，0＜λ＜1．

于是，由，则，

（1）当直线l的斜率不存在时，

求得，B（0，-1），A（0，1），

∴，

此时．

（2）当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的方程为y=kx-2．①

设点A（x1，y1），B（x2，y2），将①代入消去y得：（1+4k2）x2-16kx+12=0．

由△=162k2-4×12×（1+4k2）＞0，解得．

，，②

又，∴（x2，y2+2）=λ（x1，y1+2），

∴有x2=λx1，③

将③代入②得，，④

消去x1得，

∴，化简得，

∵，，∴，

∴且0＜λ＜1．

设，则f（λ）在（0，1）上为减函数，又，

∴．

综合（1）、（2）可得，λ的取值范围是．

解析

解：（Ⅰ）设F1（-c，0），F2（c，0），其中，

于是，，

则由，得，

解得c2=3．

又点P在椭圆C上，∴，即．

又a2-b2=c2=3，∴b2=a2-3．

联立以上两式并整理得3a4-18a2+24=0，解得a2=2（舍），或a2=4．

∴b2=1．

于是，所求的椭圆C的标准方程为；

（Ⅱ）由题可知，0＜λ＜1．

于是，由，则，

（1）当直线l的斜率不存在时，

求得，B（0，-1），A（0，1），

∴，

此时．

（2）当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的方程为y=kx-2．①

设点A（x1，y1），B（x2，y2），将①代入消去y得：（1+4k2）x2-16kx+12=0．

由△=162k2-4×12×（1+4k2）＞0，解得．

，，②

又，∴（x2，y2+2）=λ（x1，y1+2），

∴有x2=λx1，③

将③代入②得，，④

消去x1得，

∴，化简得，

∵，，∴，

∴且0＜λ＜1．

设，则f（λ）在（0，1）上为减函数，又，

∴．

综合（1）、（2）可得，λ的取值范围是．

题型：简答题

简答题

设椭圆（a＞b＞0）经过点，其离心率．

（Ⅰ）求椭圆M的方程；

（Ⅱ）直线交椭圆于A、B两点，且△PAB的面积为，求m的值．

正确答案

解：（Ⅰ）由已知，得，解得，

故所求椭圆M的方程为．

（Ⅱ）由，得，

由△=，解得-2＜m＜2，

设A（x1，y1），B（x2，y2），所以m，x1x2=，

所以|AB|=|x1-x2|=•=•=•，

又P到AB的距离为d=，

则S△ABC=|AB|•d=•==，

所以=，m4-8m2+16=0，解得m=±2，

显然，故m=±2．

解析

解：（Ⅰ）由已知，得，解得，

故所求椭圆M的方程为．

（Ⅱ）由，得，

由△=，解得-2＜m＜2，

设A（x1，y1），B（x2，y2），所以m，x1x2=，

所以|AB|=|x1-x2|=•=•=•，

又P到AB的距离为d=，

则S△ABC=|AB|•d=•==，

所以=，m4-8m2+16=0，解得m=±2，

显然，故m=±2．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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