直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：填空题

填空题

抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，若过点M（0，1）任作一条直线交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且x1•x2=-2，则抛物线C的方程为______．

正确答案

x2=2y

解析

解：（一般问题特殊化）根据题意可设抛物线的方程为x2=2py（p＞0）

过点M（0，1）任作一条直线交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点都有x1•x2=-2，

考虑特殊情况也成立，故考虑直线为y=1时，可得

则有x1x2=2p2=2∴p=1

故答案为：x2=2y

题型：单选题

单选题

直线 y=x+1与椭圆+=1相交于A、B两点，则|AB|=（　　）

正确答案

解析

解：把直线 y=x+1 代入椭圆+=1 化简可得 5x2+8x-8=0，∴x1+x2=，x1•x2=．

∴|AB|=×= =，

故选B．

题型：简答题

简答题

如图所示，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O且与x轴y轴分别相交于A（-6，0），B（0，-8）两点，若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在圆M上，开口向下，且经过B．

（1）求此抛物线的函数解析式，且设抛物线交x轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S△PDE=S△ABC，若存在，请求出点P的坐标；

（2）在抛物线上找点F使∠AFB为锐角，直接写出F的横坐标范围；

（3）求出△ABO内切圆的圆心坐标；

（4）求圆心在抛物线的对称轴上，且与直线AB和x轴都相切的圆的半径是多少？

（5）求过C、D、E三点外接圆的半径．

正确答案

解：（1）圆M：x2+y2+Dx+Ey+F=0，

则F=0，36-6D=0，64-8E=0，解得，D=6，E=8，F=0，即圆M：x2+y2+6x+8y=0，

M（-3，-4）．则对称轴为x=-3，顶点C为（-3，1），

设抛物线的解析式为y=a（x+3）2+1，代入B（0，-8），解得，a=-1．

则有抛物线方程：y=-x2-6x-8．易得D（-4，0），E（-2，0），

在抛物线上假设存在点P，使得S△PDE=S△ABC，设P（s，-s2-6s-8），

则S△PDE=×|s2+6s+8|=|s2+6s+8|

设BC与x轴交于S，由BC：y=-3x-8，令y=0，求得，x=-．

则S△ABC=（8+1）×（6-）=15，

由S△PDE=S△ABC，解得，s=，

即存在点P（，-1.5），或（，-1.5）；

（2）F的横坐标范围是（-∞，-6）∪（0，+∞）；

（3）在直角三角形ABO中，|AB|=10，|AO|=6，|BO|=8，

则设内切圆的半径为r，则r（6+8+10）=×6×8，解得，r=2，

则△ABO内切圆的圆心坐标为（-2，-2）；

（4）设所求圆心为（-3，b），半径为R，则R=|b|，

直线AB：4x+3y+24=0，由d=R，即有=R，

解得，b=6或-，

则所求圆的半径是6或；

（5）由于C（-3，1），D（-4，0），E（-2，0），

由|CD|==|CE|，|DE|=2，

可知，三角形CDE为等腰直角三角形，DE为斜边，

则所求外接圆的半径为1．

解析

解：（1）圆M：x2+y2+Dx+Ey+F=0，

则F=0，36-6D=0，64-8E=0，解得，D=6，E=8，F=0，即圆M：x2+y2+6x+8y=0，

M（-3，-4）．则对称轴为x=-3，顶点C为（-3，1），

设抛物线的解析式为y=a（x+3）2+1，代入B（0，-8），解得，a=-1．

则有抛物线方程：y=-x2-6x-8．易得D（-4，0），E（-2，0），

在抛物线上假设存在点P，使得S△PDE=S△ABC，设P（s，-s2-6s-8），

则S△PDE=×|s2+6s+8|=|s2+6s+8|

设BC与x轴交于S，由BC：y=-3x-8，令y=0，求得，x=-．

则S△ABC=（8+1）×（6-）=15，

由S△PDE=S△ABC，解得，s=，

即存在点P（，-1.5），或（，-1.5）；

（2）F的横坐标范围是（-∞，-6）∪（0，+∞）；

（3）在直角三角形ABO中，|AB|=10，|AO|=6，|BO|=8，

则设内切圆的半径为r，则r（6+8+10）=×6×8，解得，r=2，

则△ABO内切圆的圆心坐标为（-2，-2）；

（4）设所求圆心为（-3，b），半径为R，则R=|b|，

直线AB：4x+3y+24=0，由d=R，即有=R，

解得，b=6或-，

则所求圆的半径是6或；

（5）由于C（-3，1），D（-4，0），E（-2，0），

由|CD|==|CE|，|DE|=2，

可知，三角形CDE为等腰直角三角形，DE为斜边，

则所求外接圆的半径为1．

题型：填空题

填空题

已知直线ax+y+2=0与双曲线的一条渐近线平行，则这两条平行直线之间的距离是______．

正确答案

解析

解：双曲线的渐近线方程为2x±y=0

∵直线ax+y+2=0恒过定点（0，-2），到渐近线2x±y=0的距离为=

∴这两条平行直线之间的距离是

故答案为：

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：+y2=1，其短轴的端点分别为A，B（如图），直线AM，BM分别与椭圆C交于E，F两点，其中点M（m，）满足m≠0，且m≠±．

（Ⅰ）用m表示点E，F的坐标；

（Ⅱ）证明直线EF与y轴交点的位置与m无关．

正确答案

解：（Ⅰ）依题意知a=2，，∴；

（Ⅱ）∵A（0，1），B（0，-1），M （m，），且m≠0，

∴直线AM的斜率为k1=，直线BM斜率为k2=，

∴直线AM的方程为y=，直线BM的方程为y=，

由得（m2+1）x2-4mx=0，

∴，∴，

由得（9+m2）x2-12mx=0，

∴，∴；

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：

kEF==．

∴直线EF的方程为：，

令x=0，得y==2，

∴直线EF与y轴的交点为（0，2）与m无关．

解析

解：（Ⅰ）依题意知a=2，，∴；

（Ⅱ）∵A（0，1），B（0，-1），M （m，），且m≠0，

∴直线AM的斜率为k1=，直线BM斜率为k2=，

∴直线AM的方程为y=，直线BM的方程为y=，

由得（m2+1）x2-4mx=0，

∴，∴，

由得（9+m2）x2-12mx=0，

∴，∴；

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：

kEF==．

∴直线EF的方程为：，

令x=0，得y==2，

∴直线EF与y轴的交点为（0，2）与m无关．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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