直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

已知椭圆C的对称中心为坐标原点，上焦点为F（0，1），离心率e=．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设A（m，0）（m＞0）为x轴上的动点，过点A作直线l与直线AF垂直，试探究直线l与椭圆C的位置关系．

正确答案

解：（Ⅰ）由条件可知c=1，∵e==，∴a=2，

则b2=a2-c2=4-1=3，所以b=，

所以椭圆C的标准方程为；

（Ⅱ）∵kAF=-，∴直线l的斜率k1=m，

则直线l：y=m（x-m）．

联立y=m（x-m）与，

有（4+3m2）x2-6m3x+3m4-12=0，

则△=36m6-4（4+3m2）•（3m4-12）=-48（m4-3m2-4）

=-48（m2+1）（m2-4）=-48（m2+1）（m-2）（m+2），

∵m＞0，∴m2+1＞0，m+2＞0，

则当0＜m＜2时，△＞0，此时直线l与椭圆C相交；

当m=2时，△=0，此时直线l与椭圆C相切；

当m＞2时，△＜0，此时直线l与椭圆C相离．

解析

解：（Ⅰ）由条件可知c=1，∵e==，∴a=2，

则b2=a2-c2=4-1=3，所以b=，

所以椭圆C的标准方程为；

（Ⅱ）∵kAF=-，∴直线l的斜率k1=m，

则直线l：y=m（x-m）．

联立y=m（x-m）与，

有（4+3m2）x2-6m3x+3m4-12=0，

则△=36m6-4（4+3m2）•（3m4-12）=-48（m4-3m2-4）

=-48（m2+1）（m2-4）=-48（m2+1）（m-2）（m+2），

∵m＞0，∴m2+1＞0，m+2＞0，

则当0＜m＜2时，△＞0，此时直线l与椭圆C相交；

当m=2时，△=0，此时直线l与椭圆C相切；

当m＞2时，△＜0，此时直线l与椭圆C相离．

题型：单选题

单选题

已知4x2+5y2=1，则2x+y的最大值是（　　）

正确答案

解析

解：令2x+y=b，则，所以5y2=b2-4bx+4x2，

代入4x2+5y2=1，得8x2-4bx+b2-1=0．

由△=（-4b）2-4×8（b2-1）=0，得或．

所以2x+y的最大值是．

故选A．

题型：填空题

填空题

若L是过椭圆一个焦点且与长轴不重合的一条直线，则此椭圆与L垂直且被L平分的弦有______条．

正确答案

解析

解：由题意可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），

一个焦点为（c，0），

设直线方程为y=k（x-c），

交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），

AB中点为M（x0，y0），

则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，

由+=1，+=1，

两式相减可得=-，

由直线l与AB垂直，则=-，

即有=，

又y0=k（x0-c），

解得x0=＞a，

这与中点M在椭圆内矛盾，

故直线AB与椭圆没有交点．

∴椭圆被l垂直平分的弦不存在．

故答案为：0．

题型：单选题

单选题

椭圆上一点P到直线x+y+10=0的距离最小值为（　　）

正确答案

解析

解：设与直线x+y+10=0平行的直线方程为：x+y+c=0，与椭圆方程联立，消元可得25x2+32cx+16c2-144=0

令△=1024c2-100（16c2-144）=0，可得c=±15

∴两条平行线间的距离为=或

∴椭圆上一点P到直线x+y+10=0的距离最小值为

故选D．

题型：简答题

简答题

（1）设椭圆C1：与双曲线C2：有相同的焦点F1、F2，M是椭圆C1与双曲线C2的公共点，且△MF1F2的周长为6，求椭圆C1的方程；

我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．

（2）如图，已知“盾圆D”的方程为．设“盾圆D”上的任意一点M到F（1，0）的距离为d1，M到直线l：x=3的距离为d2，求证：d1+d2为定值；

（3）由抛物线弧E1：y2=4x（0）与第（1）小题椭圆弧E2：（）所合成的封闭曲线为“盾圆E”．设过点F（1，0）的直线与“盾圆E”交于A、B两点，|FA|=r1，|FB|=r2且∠AFx=α（0≤α≤π），试用cosα表示r1；并求的取值范围．

正确答案

（1）解：由△MF1F2的周长为6得2（a+c）=6，即a+c=3，

椭圆C1与双曲线C2：有相同的焦点，所以c=1，所以a=2，b2=a2-c2=3，

椭圆C1的方程为；

（2）证明：设“盾圆D”上的任意一点M的坐标为（x，y），d2=|x-3|．

当M∈C1时，y2=4x（0≤x≤3），=|x+1|，

则d1+d2=|x+1|+|x-3|=（x+1）+（3-x）=4；

当M∈C2时，y2=-12（x-4）（3＜x≤4），=|7-x|，

则d1+d2=|7-x|+|x-3|=（7-x）+（x-3）=4；

所以d1+d2=4为定值；

（3）显然“盾圆E”由两部分合成，所以按A在抛物线弧E1或椭圆弧E2上加以分类，由“盾圆E”的对称性，不妨设A在x轴上方（或x轴上）：

当时，，此时r=，cosα=-；

当-≤cosα≤1时，A在椭圆弧E2上，

由题设知A（1+r1cosα，r1sinα）代入得，3（1+r1cosα）2+4-12=0，

整理得（4-cos2α）+6r1cosα-9=0，

解得或（舍去）．

当-1≤cosα≤-时A在抛物线弧E1上，

由方程或定义均可得到r1=2+r1cosα，于是，

综上，（-1）或（-≤cosα≤1）；

相应地，B（1-r2cosα，-r2sinα），

当-1时A在抛物线弧E1上，B在椭圆弧E2上，

==∈[1，]；

当1时A在椭圆弧E2上，B在抛物线弧E1上，

•=∈[，1]；

当-时A、B在椭圆弧E2上，

=∈（，）；

综上的取值范围是[，]．

解析

（1）解：由△MF1F2的周长为6得2（a+c）=6，即a+c=3，

椭圆C1与双曲线C2：有相同的焦点，所以c=1，所以a=2，b2=a2-c2=3，

椭圆C1的方程为；

（2）证明：设“盾圆D”上的任意一点M的坐标为（x，y），d2=|x-3|．

当M∈C1时，y2=4x（0≤x≤3），=|x+1|，

则d1+d2=|x+1|+|x-3|=（x+1）+（3-x）=4；

当M∈C2时，y2=-12（x-4）（3＜x≤4），=|7-x|，

则d1+d2=|7-x|+|x-3|=（7-x）+（x-3）=4；

所以d1+d2=4为定值；

（3）显然“盾圆E”由两部分合成，所以按A在抛物线弧E1或椭圆弧E2上加以分类，由“盾圆E”的对称性，不妨设A在x轴上方（或x轴上）：

当时，，此时r=，cosα=-；

当-≤cosα≤1时，A在椭圆弧E2上，

由题设知A（1+r1cosα，r1sinα）代入得，3（1+r1cosα）2+4-12=0，

整理得（4-cos2α）+6r1cosα-9=0，

解得或（舍去）．

当-1≤cosα≤-时A在抛物线弧E1上，

由方程或定义均可得到r1=2+r1cosα，于是，

综上，（-1）或（-≤cosα≤1）；

相应地，B（1-r2cosα，-r2sinα），

当-1时A在抛物线弧E1上，B在椭圆弧E2上，

==∈[1，]；

当1时A在椭圆弧E2上，B在抛物线弧E1上，

•=∈[，1]；

当-时A、B在椭圆弧E2上，

=∈（，）；

综上的取值范围是[，]．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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