- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
若a2+2b2=3(a>0,b>0),则a+2b的最大值为______.
正确答案
3
解析
解:由a2+2b2=3,变形得:+
=1,即
+
=1,
令=cosx,
b=sinx,
∴a=cosx,b=
sinx=
sinx,
则a+2b=cosx+
sinx=3(
cosx+
sinx)=3sin(θ+x),(其中tanθ=
),
当sin(θ+x)=1时,a+2b有最大值,最大值为3.
故答案为:3
过抛物线C:x2=4y的焦点F作直线l,交C于A,B两点.若F恰好为线段AB的三等分点,则直线l的斜率k=______.
正确答案
或-
解析
解:由抛物线C:x2=4y得焦点F(0,1).
设A,B
.∵F恰好为线段AB的三等分点,∴
,或
.
①当时,得-x1=2x2,由直线l的方程为y=kx+1,与抛物线方程联立得
,消去y得到x2-4kx-4=0,得到x1+x2=4k,x1x2=-4.
联立,解得
.
②当时,同上,
.
故答案为.
双曲线E:-
=1(a>0,b>0)的离心率等于
,焦点到渐近线的距离为1,直线y=kx-1与双曲线E的右支点交于A,B两点,
(1)求k的取值范围;
(2)若|AB|=6,点C是双曲线左支上一点,满足
=m(
+
),求C点坐标.
正确答案
解:(1)由于双曲线E:-
=1(a>0,b>0)的离心率等于
,
则e==
,c2=a2+b2,则a=b,
由于渐近线方程为y=±x,则焦点(c,0)到渐近线的距离为1,
则有d==1,则c=
,a=b=1,
则有双曲线方程为x2-y2=1,联立直线y=kx-1,消去y,得,
(1-k2)x2+2kx-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则4k2+8(1-k2)>0,且x1+x2=>0,x1x2=
>0,
解得,1<k<,
即有k的取值范围是(1,);
(2)|AB|=
==6
,
解得,k2=或
,
由于1<k<,则k=
,
则x1+x2==4
,y1+y2=k(x1+x2)-2=
=8,
又点C是双曲线左支上一点,设C(s,t)(s<0),
则s2-t2=1,
又=m(
+
),则s=m(x1+x2)=4
m,t=m(y1+y2)=8m,
由于s<0,则t<0,解得,s=-,t=-2.
即有C(-,-2).
解析
解:(1)由于双曲线E:-
=1(a>0,b>0)的离心率等于
,
则e==
,c2=a2+b2,则a=b,
由于渐近线方程为y=±x,则焦点(c,0)到渐近线的距离为1,
则有d==1,则c=
,a=b=1,
则有双曲线方程为x2-y2=1,联立直线y=kx-1,消去y,得,
(1-k2)x2+2kx-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则4k2+8(1-k2)>0,且x1+x2=>0,x1x2=
>0,
解得,1<k<,
即有k的取值范围是(1,);
(2)|AB|=
==6
,
解得,k2=或
,
由于1<k<,则k=
,
则x1+x2==4
,y1+y2=k(x1+x2)-2=
=8,
又点C是双曲线左支上一点,设C(s,t)(s<0),
则s2-t2=1,
又=m(
+
),则s=m(x1+x2)=4
m,t=m(y1+y2)=8m,
由于s<0,则t<0,解得,s=-,t=-2.
即有C(-,-2).
已知椭圆
+
=1(a>b>0)的离心率e=
,短轴的一个顶点与椭圆两焦点构成的三角形面积为2
.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)直线y=x+m与椭圆交于A,B两点,求△OAB面积的最大值.
正确答案
解:(I)由题意可得,e==
,
•2c•b=2
,a2-b2=c2,
解得a=2,b=
,
即有椭圆方程为+
=1;
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=x+m代入椭圆方程x2+4y2=8,
可得x2+2mx+2m2-4=0,判别式△=4m2-4(2m2-4)>0,
解得-2<m<2且m≠0,x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,
由直线与y轴交于(0,m),
则S△OAB=|m|•|x1-x2|=
|m|•
=|m|•≤
=2,
当且仅当m=±时取得等号.
则OAB面积的最大值为2.
解析
解:(I)由题意可得,e==
,
•2c•b=2
,a2-b2=c2,
解得a=2,b=
,
即有椭圆方程为+
=1;
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=x+m代入椭圆方程x2+4y2=8,
可得x2+2mx+2m2-4=0,判别式△=4m2-4(2m2-4)>0,
解得-2<m<2且m≠0,x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,
由直线与y轴交于(0,m),
则S△OAB=|m|•|x1-x2|=
|m|•
=|m|•≤
=2,
当且仅当m=±时取得等号.
则OAB面积的最大值为2.
如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F.过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.
(Ⅰ)求y1y2的值;
(Ⅱ)记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2.证明:为定值.
正确答案
(Ⅰ)解:依题意,设直线AB的方程为x=my+2.
将其代入y2=4x,消去x,整理得 y2-4my-8=0.
从而y1y2=-8.
(Ⅱ)证明:设M(x3,y3),N(x4,y4).
则 =
×
=
×
=
.
设直线AM的方程为x=ny+1,将其代入y2=4x,消去x,
整理得y2-4ny-4=0.
所以y1y3=-4.
同理可得 y2y4=-4.
故=
=
=
.
由(Ⅰ)得=2,为定值.
解析
(Ⅰ)解:依题意,设直线AB的方程为x=my+2.
将其代入y2=4x,消去x,整理得 y2-4my-8=0.
从而y1y2=-8.
(Ⅱ)证明:设M(x3,y3),N(x4,y4).
则 =
×
=
×
=
.
设直线AM的方程为x=ny+1,将其代入y2=4x,消去x,
整理得y2-4ny-4=0.
所以y1y3=-4.
同理可得 y2y4=-4.
故=
=
=
.
由(Ⅰ)得=2,为定值.
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