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题型:填空题
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填空题

若a2+2b2=3(a>0,b>0),则a+2b的最大值为______

正确答案

3

解析

解:由a2+2b2=3,变形得:+=1,即+=1,

=cosx,b=sinx,

∴a=cosx,b=sinx=sinx,

则a+2b=cosx+sinx=3(cosx+sinx)=3sin(θ+x),(其中tanθ=),

当sin(θ+x)=1时,a+2b有最大值,最大值为3.

故答案为:3

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题型:填空题
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填空题

过抛物线C:x2=4y的焦点F作直线l,交C于A,B两点.若F恰好为线段AB的三等分点,则直线l的斜率k=______

正确答案

或-

解析

解:由抛物线C:x2=4y得焦点F(0,1).

设A,B.∵F恰好为线段AB的三等分点,∴,或

①当时,得-x1=2x2,由直线l的方程为y=kx+1,与抛物线方程联立得,消去y得到x2-4kx-4=0,得到x1+x2=4k,x1x2=-4.

联立,解得

②当时,同上,

故答案为

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题型:简答题
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简答题

双曲线E:-=1(a>0,b>0)的离心率等于,焦点到渐近线的距离为1,直线y=kx-1与双曲线E的右支点交于A,B两点,

(1)求k的取值范围;

(2)若|AB|=6,点C是双曲线左支上一点,满足=m(+),求C点坐标.

正确答案

解:(1)由于双曲线E:-=1(a>0,b>0)的离心率等于

则e==,c2=a2+b2,则a=b,

由于渐近线方程为y=±x,则焦点(c,0)到渐近线的距离为1,

则有d==1,则c=,a=b=1,

则有双曲线方程为x2-y2=1,联立直线y=kx-1,消去y,得,

(1-k2)x2+2kx-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),

则4k2+8(1-k2)>0,且x1+x2=>0,x1x2=>0,

解得,1<k<

即有k的取值范围是(1,);

(2)|AB|=

==6

解得,k2=

由于1<k<,则k=

则x1+x2==4,y1+y2=k(x1+x2)-2==8,

又点C是双曲线左支上一点,设C(s,t)(s<0),

则s2-t2=1,

=m(+),则s=m(x1+x2)=4m,t=m(y1+y2)=8m,

由于s<0,则t<0,解得,s=-,t=-2.

即有C(-,-2).

解析

解:(1)由于双曲线E:-=1(a>0,b>0)的离心率等于

则e==,c2=a2+b2,则a=b,

由于渐近线方程为y=±x,则焦点(c,0)到渐近线的距离为1,

则有d==1,则c=,a=b=1,

则有双曲线方程为x2-y2=1,联立直线y=kx-1,消去y,得,

(1-k2)x2+2kx-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),

则4k2+8(1-k2)>0,且x1+x2=>0,x1x2=>0,

解得,1<k<

即有k的取值范围是(1,);

(2)|AB|=

==6

解得,k2=

由于1<k<,则k=

则x1+x2==4,y1+y2=k(x1+x2)-2==8,

又点C是双曲线左支上一点,设C(s,t)(s<0),

则s2-t2=1,

=m(+),则s=m(x1+x2)=4m,t=m(y1+y2)=8m,

由于s<0,则t<0,解得,s=-,t=-2.

即有C(-,-2).

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题型:简答题
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简答题

已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,短轴的一个顶点与椭圆两焦点构成的三角形面积为2

(I)求椭圆的方程;

(Ⅱ)直线y=x+m与椭圆交于A,B两点,求△OAB面积的最大值.

正确答案

解:(I)由题意可得,e==•2c•b=2,a2-b2=c2

解得a=2,b=

即有椭圆方程为+=1;

(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=x+m代入椭圆方程x2+4y2=8,

可得x2+2mx+2m2-4=0,判别式△=4m2-4(2m2-4)>0,

解得-2<m<2且m≠0,x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,

由直线与y轴交于(0,m),

则S△OAB=|m|•|x1-x2|=|m|•

=|m|•=2,

当且仅当m=±时取得等号.

则OAB面积的最大值为2.

解析

解:(I)由题意可得,e==•2c•b=2,a2-b2=c2

解得a=2,b=

即有椭圆方程为+=1;

(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=x+m代入椭圆方程x2+4y2=8,

可得x2+2mx+2m2-4=0,判别式△=4m2-4(2m2-4)>0,

解得-2<m<2且m≠0,x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,

由直线与y轴交于(0,m),

则S△OAB=|m|•|x1-x2|=|m|•

=|m|•=2,

当且仅当m=±时取得等号.

则OAB面积的最大值为2.

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题型:简答题
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简答题

如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F.过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.

(Ⅰ)求y1y2的值;

(Ⅱ)记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2.证明:为定值.

正确答案

(Ⅰ)解:依题意,设直线AB的方程为x=my+2.             

将其代入y2=4x,消去x,整理得 y2-4my-8=0.

从而y1y2=-8.                                

(Ⅱ)证明:设M(x3,y3),N(x4,y4).

则 =×=×=. 

设直线AM的方程为x=ny+1,将其代入y2=4x,消去x,

整理得y2-4ny-4=0.           

所以y1y3=-4.       

同理可得 y2y4=-4.          

===. 

由(Ⅰ)得=2,为定值.

解析

(Ⅰ)解:依题意,设直线AB的方程为x=my+2.             

将其代入y2=4x,消去x,整理得 y2-4my-8=0.

从而y1y2=-8.                                

(Ⅱ)证明:设M(x3,y3),N(x4,y4).

则 =×=×=. 

设直线AM的方程为x=ny+1,将其代入y2=4x,消去x,

整理得y2-4ny-4=0.           

所以y1y3=-4.       

同理可得 y2y4=-4.          

===. 

由(Ⅰ)得=2,为定值.

百度题库 > 高考 > 数学 > 直线与圆锥曲线的综合问题

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