- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②通径为8；
③过焦点的直线与抛物线交于两点的横坐标之积为4；
④抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离为6；
能满足抛物线y2=8x的条件是______ （填序号）
正确答案
②③
解析
解：对于①，当抛物线焦点在y轴上时，方程形式是x2=2py或x2=-2py的形式，不可能是y2=8x，故①不正确；
对于②，过抛物线y2=2px的焦点F（
由y2=2p×
对于③，设过抛物线y2=2px的焦点F（
由
设交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），得x1•x2=
∴2p=8，得抛物线方程为y2=8x，符合题意，③正确；
对于④，设抛物线方程为y2=2px，点P（2，y0）到焦点有距离等于6，
根据抛物线的定义得2+
故答案为：②③
已知椭圆
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G的横坐标的取值范围．
正确答案
所以c=1，
又因为离心率为
所以a=
所以b2=1
所以椭圆的方程为 
（2）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），
代入 
（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0．
∵直线AB过椭圆的左焦点F，
∴方程有两个不等实根．
记A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），
则 
∴AB的垂直平分线NG的方程为 
令y=0，得 
∵k≠0，∴
∴点G横坐标的取值范围为 
解析
所以c=1，
又因为离心率为
所以a=
所以b2=1
所以椭圆的方程为
（2）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），
代入
（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0．
∵直线AB过椭圆的左焦点F，
∴方程有两个不等实根．
记A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），
则
∴AB的垂直平分线NG的方程为
令y=0，得
∵k≠0，∴
∴点G横坐标的取值范围为
已知椭圆E：
A（0，
B（0，
C[
D[
正确答案
解析
∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．
取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于
∴e=
∴椭圆E的离心率的取值范围是
故选：A．
以椭圆
正确答案
解析
解：由题意可得直线的斜率存在，设直线方程为 y-1=k （ x-1），
代入椭圆
（4k2+1）x2+8（k-k2 ） x+4k2-8k-12．
∴由题意可得 x1+x2=
故 直线方程为 y-1=-
故选D．
已知双曲线C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0），且离心率为2；
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）若经过点M（1，3）的直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程．
正确答案
解：（Ⅰ）设双曲线方程为
由于离心率为2，即
b=
则双曲线方程为x2-
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
由于M为AB的中点，则x1+x2=2，y1+y2=6，
得直线AB的斜率kAB=
∴直线l的方程为y-3=x-1即y=x+2，代入方程x2-
得2x2-4x-7=0，△=42-4×2×（-7）=72＞0，
故所求的直线方程为y=x+2．
解析
解：（Ⅰ）设双曲线方程为
由于离心率为2，即
b=
则双曲线方程为x2-
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
由于M为AB的中点，则x1+x2=2，y1+y2=6，
得直线AB的斜率kAB=
∴直线l的方程为y-3=x-1即y=x+2，代入方程x2-
得2x2-4x-7=0，△=42-4×2×（-7）=72＞0，
故所求的直线方程为y=x+2．
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