- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
已知椭圆C：
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M（
正确答案
解：（Ⅰ）由题意得，
所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）当直线l斜率不存在时，不符合题意，
当斜率存在时设直线l的方程为y=k（x-2），A（x1，y1）、B（x2，y2），AB的中点为N（x0，y0），
由
因为△=64k4-4（1+2k2）（8k2-8）=32（k2+1）＞0，
所以
所以
因为线段AB的垂直平分线过点M（
所以kMN•k=-1，即
所以
解得，
所以直线l的方程为
解析
解：（Ⅰ）由题意得，
所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）当直线l斜率不存在时，不符合题意，
当斜率存在时设直线l的方程为y=k（x-2），A（x1，y1）、B（x2，y2），AB的中点为N（x0，y0），
由
因为△=64k4-4（1+2k2）（8k2-8）=32（k2+1）＞0，
所以
所以
因为线段AB的垂直平分线过点M（
所以kMN•k=-1，即
所以
解得，
所以直线l的方程为
设椭圆C：
（1）求椭圆C的方程．
（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F2与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k1，k2满足
正确答案
解：（1）∵椭圆C：
（2）由（1）可得：左顶点A（-2，0），右焦点（1，0）．
由题意可知直线l不存在时不满足条件，可设直线l的方程为y=k（x-1），M（x1，y1），N（x2，y2）．
联立
∴
∵
化为2k（x1-1）（x2+2）+2k（x2-1）（x1+2）+（x1+2）（x2+2）=0，
整理为（4k+1
解析
解：（1）∵椭圆C：
（2）由（1）可得：左顶点A（-2，0），右焦点（1，0）．
由题意可知直线l不存在时不满足条件，可设直线l的方程为y=k（x-1），M（x1，y1），N（x2，y2）．
联立
∴
∵
化为2k（x1-1）（x2+2）+2k（x2-1）（x1+2）+（x1+2）（x2+2）=0，
整理为（4k+1
（1）建立适当的坐标系，求曲线DE的方程；
（2）过C点作一条与曲线DE相交且以C为中点的弦，求出弦所在直线的方程．
正确答案
解：（1）以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，
则A（-2，0），B（2，0），C（2，
依题意，曲线段DE是以A、B为焦点的椭圆的一部分．
∵a=
∴所求方程为
（2）设直线方程y-
得
设弦的端点为M（x1，y1），N（x2，y2），则由
∴-
∴弦MN所在直线方程为y=-
故这样的直线存在，其方程为y=-
解析
解：（1）以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，
则A（-2，0），B（2，0），C（2，
依题意，曲线段DE是以A、B为焦点的椭圆的一部分．
∵a=
∴所求方程为
（2）设直线方程y-
得
设弦的端点为M（x1，y1），N（x2，y2），则由
∴-
∴弦MN所在直线方程为y=-
故这样的直线存在，其方程为y=-
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）过（1，0）点的直线L与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点A′（A′与B不重合），求证直线A′B与x轴交于一个定点，求此点坐标．
正确答案
（Ⅰ）解：∵椭圆C：
∴
∵b2=a2-c2
∴
∴a=2
∴椭圆C的方程为
（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），则A′（x1，-y1），
直线AB的方程代入椭圆方程可得（1+4k2）x2-8k2x+k2-4=0
∴x1+x2=
又直线A′B的方程为y-y2=
令y=0可得x=
∴直线A′B与x轴交于一个定点，坐标为（4，0）．
解析
（Ⅰ）解：∵椭圆C：
∴
∵b2=a2-c2
∴
∴a=2
∴椭圆C的方程为
（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），则A′（x1，-y1），
直线AB的方程代入椭圆方程可得（1+4k2）x2-8k2x+k2-4=0
∴x1+x2=
又直线A′B的方程为y-y2=
令y=0可得x=
∴直线A′B与x轴交于一个定点，坐标为（4，0）．
已知抛物线的方程为y2=4x，直线l过定点P（-2，1），斜率为k，若直线l与抛物线仅有一个公共点，则k=______．
正确答案
-1或0或
解析
解：由题意可设直线方程为：y=k（x+2）+1，
联立方程可得，
整理可得k2x2+（4k2+2k-4）x+4k2+4k+1=0（*）
直线与抛物线只有一个公共点⇔（*）只有一个根
①k=0时，y=1符合题意
②k≠0时，△=（4k2+2k-4）2-4k2（4k2+4k+1）=0
整理，得2k2+k-1=0，
解得
综上可得，
故答案为：-1或0或
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