- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
设F1，F2分别是椭圆C：
（1）设椭圆C上的点
（2）设过（1）中所得椭圆上的焦点F2且斜率为1的直线与其相交于A，B，求△ABF1的面积；
（3）设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPN，kPN试探究kPN•kPN的值是否与点P及直线l有关，并证明你的结论．
正确答案
解：（1）由于点
解得
故椭圆C的方程为
（2）由（1）知椭圆C的左右焦点坐标分别为F1（-1，0），F2（1，0），|F1F2|=2
所以，过椭圆的焦点F2且斜率为1的直线方程为y=x-1
将其代入
当x1=0时，y1=-1，当
所以△ABF1的面积：
（3）过原点的直线L与椭圆
设M（x0，y0），N（-x0，-y0），P（x，y），
∵M，N，P在椭圆上，
∴
两式相减得
又∵
∴
故：kPN•kPN的值与点P的位置无关，同时与直线l无关．（14分）
解析
解：（1）由于点
解得
故椭圆C的方程为
（2）由（1）知椭圆C的左右焦点坐标分别为F1（-1，0），F2（1，0），|F1F2|=2
所以，过椭圆的焦点F2且斜率为1的直线方程为y=x-1
将其代入
当x1=0时，y1=-1，当
所以△ABF1的面积：
（3）过原点的直线L与椭圆
设M（x0，y0），N（-x0，-y0），P（x，y），
∵M，N，P在椭圆上，
∴
两式相减得
又∵
∴
故：kPN•kPN的值与点P的位置无关，同时与直线l无关．（14分）
过抛物线y2=2px的顶点作两个互相垂直的弦OA，OB，则△OAB面积的最小值为______．
正确答案
4p2
解析
解：设A
∵
∴
化为
∴S△OAB=
=
=
当且仅当|y1|=|y2|=2p时取等号．
故答案为4p2．
直线y=kx与曲线y=e|lnx|-|x-2|有3个公共点时，实数k的取值范围是______．
正确答案
（0，1）
解析
当2＞x≥1 时，曲线 y=x-（2-x）=2x-2；
当 1＞x＞0 时，曲线 y=
直线y=kx与曲线y=e|lnx|-|x-2|有3个公共点时，
实数k的取值范围是 0＜k＜1，
故答案为 （0，1）．
（1）求椭圆W的方程；
（2）
（3）求△MBC面积S的最大值．
正确答案
∴椭圆W的方程为
（2）点M坐标为（-3，0）．于是可设直线l的方程为y=k（x+3）．
联立
△=（18k2）2-4（1+3k2）（27k2-6）＞0，解得
设点A（x1，y1），B（x2，y2），则
y1=k（x1+3），y2=k（x2+3）．
∵F（-2，0），C（x1，-y1）．∴
∵（x1+2）y2-（x2+2）（-y1）=（x1+2）k（x2+3）+（x2+2）k（x1+3）=k[2x1x2+5（x1+x2）+12]
=
∴
（3）由（2）可知：
由题意可知：S=
=
∴
解析
∴椭圆W的方程为
（2）点M坐标为（-3，0）．于是可设直线l的方程为y=k（x+3）．
联立
△=（18k2）2-4（1+3k2）（27k2-6）＞0，解得
设点A（x1，y1），B（x2，y2），则
y1=k（x1+3），y2=k（x2+3）．
∵F（-2，0），C（x1，-y1）．∴
∵（x1+2）y2-（x2+2）（-y1）=（x1+2）k（x2+3）+（x2+2）k（x1+3）=k[2x1x2+5（x1+x2）+12]
=
∴
（3）由（2）可知：
由题意可知：S=
=
∴
如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；
（3）过点A的直线将（2）中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）
正确答案
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-1，0）、B（3，0），
∴
解得a=-1，b=2，
∴抛物线方程为y=-x2+2x+3；
（2）解法一：设点P（m，0），∵点E在抛物线y=-x2+2x+3上，
∴PE=-m2+2m+3，
把x=0代入y=-x2+2x+3，得y=3；
∴C（0，3）；
设直线BC的解析式为y=kx+b，则
∴直线BC的解析式为y=-x+3，如图1；
∵点F在直线BC上，∴PF=-m+3；
∴EF=PE-PF=-m2+3m，
若四边形ODEF是平行四边形，则EF=OD=2；
∴-m2+3m=2，
解得m1=1，m2=2；
∴P（1，0）或 P（2，0）；
解法二：如图2，
把x=0代入y=-x2+2x+3，得y=3，
∴C（0，3）；
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则
解得k=-1，b=3，
∴直线BC的解析式为y=-x+3；
过点D作DG⊥EF于点G，则四边形ODGP是矩形，
∴DG=OP；
若四边形ODEF是平行四边形，∴DE∥OF，
∴∠DEF=∠OFP，
∵∠DGE=∠OPF=90°，
∴△DEG≌△OFP，
∴EG=FP；
设点P（m，0），∵点P在抛物线y=-x2+2x+3上，
∴PE=-m2+2m+3，
∵点F在直线BC上，∴PF=-m+3；
∵EG=-m2+2m+3-2=-m2+2m+1，
∴-m2+2m+1=-m+3，
∴-m2+3m-2=0，
解得m1=1，m2=2，
∴P（1，0）或 P（2，0）；
（3）当点P（2，0）时，即OP=2，如图3；
连接DF、OE相交于点G，取OP的中点H，连接GH，
∵四边形ODEF是平行四边形，
∴OG=GE，
∴GH是△OEP的中位线，
∴GH∥EP，GH=
把x=2代入y=-x2+2x+3，得y=3，即PE=3；
∴GH=
∵GH∥EP，
∴GH⊥OP，
∴G（1，
设直线AG的解析式为y=k1x+b1，则
解得k1=b1=
∴将平行四边形ODEF的面积等分的直线解析式为y=
当点P（1，0）时，即OP=1，如图4；
连接DF、OE相交于点G，取OP的中点H，连接GH；
∵四边形ODEF是平行四边形，
∴OG=GE，
∵OH=HP=
∴GH是△OEP的中位线，
∴GH∥EP，GH=
把x=1代入y=-x2+2x+3，得y=4，即PE=4；
∴GH=2，
∵GH∥EP，∴∠GHO=∠EPO=90°，
∴G（
设直线AG的解析式为y=k2x+b2，则
解得k2=b2=
∴将平行四边形ODEF的面积等分的直线解析式为y=
综上所述，直线的解析式为y=
解析
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-1，0）、B（3，0），
∴
解得a=-1，b=2，
∴抛物线方程为y=-x2+2x+3；
（2）解法一：设点P（m，0），∵点E在抛物线y=-x2+2x+3上，
∴PE=-m2+2m+3，
把x=0代入y=-x2+2x+3，得y=3；
∴C（0，3）；
设直线BC的解析式为y=kx+b，则
∴直线BC的解析式为y=-x+3，如图1；
∵点F在直线BC上，∴PF=-m+3；
∴EF=PE-PF=-m2+3m，
若四边形ODEF是平行四边形，则EF=OD=2；
∴-m2+3m=2，
解得m1=1，m2=2；
∴P（1，0）或 P（2，0）；
解法二：如图2，
把x=0代入y=-x2+2x+3，得y=3，
∴C（0，3）；
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则
解得k=-1，b=3，
∴直线BC的解析式为y=-x+3；
过点D作DG⊥EF于点G，则四边形ODGP是矩形，
∴DG=OP；
若四边形ODEF是平行四边形，∴DE∥OF，
∴∠DEF=∠OFP，
∵∠DGE=∠OPF=90°，
∴△DEG≌△OFP，
∴EG=FP；
设点P（m，0），∵点P在抛物线y=-x2+2x+3上，
∴PE=-m2+2m+3，
∵点F在直线BC上，∴PF=-m+3；
∵EG=-m2+2m+3-2=-m2+2m+1，
∴-m2+2m+1=-m+3，
∴-m2+3m-2=0，
解得m1=1，m2=2，
∴P（1，0）或 P（2，0）；
（3）当点P（2，0）时，即OP=2，如图3；
连接DF、OE相交于点G，取OP的中点H，连接GH，
∵四边形ODEF是平行四边形，
∴OG=GE，
∴GH是△OEP的中位线，
∴GH∥EP，GH=
把x=2代入y=-x2+2x+3，得y=3，即PE=3；
∴GH=
∵GH∥EP，
∴GH⊥OP，
∴G（1，
设直线AG的解析式为y=k1x+b1，则
解得k1=b1=
∴将平行四边形ODEF的面积等分的直线解析式为y=
当点P（1，0）时，即OP=1，如图4；
连接DF、OE相交于点G，取OP的中点H，连接GH；
∵四边形ODEF是平行四边形，
∴OG=GE，
∵OH=HP=
∴GH是△OEP的中位线，
∴GH∥EP，GH=
把x=1代入y=-x2+2x+3，得y=4，即PE=4；
∴GH=2，
∵GH∥EP，∴∠GHO=∠EPO=90°，
∴G（
设直线AG的解析式为y=k2x+b2，则
解得k2=b2=
∴将平行四边形ODEF的面积等分的直线解析式为y=
综上所述，直线的解析式为y=
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