直线与圆锥曲线的综合问题_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知动点M到定点（1，0）的距离比M到定直线x=-2的距离小1．

（Ⅰ）求点M的轨迹曲线C的方程；

（Ⅱ）大家知道，过圆上任意一点P，任意作两条相互垂直的弦PA，PB，则弦AB必过圆心（定点），受此启发，过曲线C上一点P，任意作两条相互垂直的弦PA，PB．

（ⅰ）若点P恰好是曲线C的顶点，则弦AB是否经过一个定点？若经过定点（设为Q），请求出Q点的坐标，否则说明理由；

（ⅱ）试探究：若改变曲线C的开口，且点P不是曲线C的顶点，（ⅰ）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出一个使（ⅰ）中的结论成立的命题，并加以证明，否则说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）M到定点（1，0）的距离等于到定直线x=-1的距离，

∴轨迹为抛物线…（2分）

轨迹方程为y2=4x…（3分）

（Ⅱ）（i）依题意得设OA：y=kx，（k≠0），此时

由得，…（5分）

同理B（4k2，-4k）…（6分）

因此AB方程为

即…（7分）

令y=0得，∴x=4，

∴直线AB必过定点Q（4，0）…（8分）

（ii）结论：过抛物线y2=2px上顶点以外的定点P任作两条相互垂直的弦PA，PB，则弦AB必过定点．

设点P（x0，y0）为y2=2px上一定点（非原点），则

过P作互相垂直的弦PA，PB

设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，

∴，

化简得即（*）…（10分）

假设AB过定点Q（a，b），则有

即化简得y1y2-b（y1+y2）+2pa=0（**）…（12分）

比较（*）、（**）得a=2p+x0，b=-y0，

∴过定点Q（x0+2p，-y0）…（13分）

解析

解：（Ⅰ）M到定点（1，0）的距离等于到定直线x=-1的距离，

∴轨迹为抛物线…（2分）

轨迹方程为y2=4x…（3分）

（Ⅱ）（i）依题意得设OA：y=kx，（k≠0），此时

由得，…（5分）

同理B（4k2，-4k）…（6分）

因此AB方程为

即…（7分）

令y=0得，∴x=4，

∴直线AB必过定点Q（4，0）…（8分）

（ii）结论：过抛物线y2=2px上顶点以外的定点P任作两条相互垂直的弦PA，PB，则弦AB必过定点．

设点P（x0，y0）为y2=2px上一定点（非原点），则

过P作互相垂直的弦PA，PB

设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，

∴，

化简得即（*）…（10分）

假设AB过定点Q（a，b），则有

即化简得y1y2-b（y1+y2）+2pa=0（**）…（12分）

比较（*）、（**）得a=2p+x0，b=-y0，

∴过定点Q（x0+2p，-y0）…（13分）

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题型：简答题

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简答题

已知动点P到直线x=4的距离等于到定点F1（1，0）的距离的2倍，

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）过F1且斜率k=1的直线交上述轨迹于C、D两点，若A（2，0），求△ACD的面积S．

正确答案

解：（1）设动点P（x，y），由题设知，

化简得动点P（x，y）的轨迹方程是．

（2）过F1（1，0）且斜率k=1的直线方程为y=x-1代入椭圆方程消去y，

得　7x2-8x-8=0．

设C（x1，y1），D（x2，y2），

则

而

解析

解：（1）设动点P（x，y），由题设知，

化简得动点P（x，y）的轨迹方程是．

（2）过F1（1，0）且斜率k=1的直线方程为y=x-1代入椭圆方程消去y，

得　7x2-8x-8=0．

设C（x1，y1），D（x2，y2），

则

而

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的离心率为，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设点M（2，0），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线l1与椭圆相交于A、B两点，过AB的中点N作直线l2与y轴交于点P，D为N在直线l上的射影，若|ND|、、|MP|成等比数列，求直线l2的斜率的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意可得，解得．

所以椭圆标准方程为；

（Ⅱ）设l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，直线l1的方程为y=k1x+2，

A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程

，整理得．

∵直线l1与椭圆由两个公共点，∴△=⇔．

∴或．

由，

得|AB|2==

=．

设N（x′，y′），则，．

∴直线NP的方程为，令x=0，得，

∴|ND|=|1-|=，|MP|=．

∵成等比数列，则有|AB|2=4|MC|•|ND|

∴

，则或

∴或．

由，可得

∴k2的取值范围为．

解析

解：（Ⅰ）由题意可得，解得．

所以椭圆标准方程为；

（Ⅱ）设l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，直线l1的方程为y=k1x+2，

A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程

，整理得．

∵直线l1与椭圆由两个公共点，∴△=⇔．

∴或．

由，

得|AB|2==

=．

设N（x′，y′），则，．

∴直线NP的方程为，令x=0，得，

∴|ND|=|1-|=，|MP|=．

∵成等比数列，则有|AB|2=4|MC|•|ND|

∴

，则或

∴或．

由，可得

∴k2的取值范围为．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意，满足a2=b2+c2，，…（3分）

解得，则椭圆方程为…（6分）

（Ⅱ）将y=k（x+1）代入中得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-5=0…（8分）

△=36k4-4（3k2+1）（3k2-5）=48k2+20＞0，所以…（10分）

因为AB中点的横坐标为，所以，解得…（12分）

解析

解：（Ⅰ）由题意，满足a2=b2+c2，，…（3分）

解得，则椭圆方程为…（6分）

（Ⅱ）将y=k（x+1）代入中得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-5=0…（8分）

△=36k4-4（3k2+1）（3k2-5）=48k2+20＞0，所以…（10分）

因为AB中点的横坐标为，所以，解得…（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别A、B，椭圆过点（0，1）且离心率e=．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆上异于A，B两点的任意一点P作PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q，且PQ=HP，过点B作直线l⊥x轴，连结AQ并延长交直线l于点M，N为MB的中点，试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．

正确答案

解：（1）因为椭圆经过点（0，1），所以b=1，又椭圆的离心率得，

即3a2=4c2，由a2=b2+c2得a2=1+c2，所以a=2，

故所求椭圆方程为；

（2）直线QN与圆O相切．

事实上，设P（x0，y0），则，设Q（x，y），∵HP=PQ，∴x=x0，y=2y0

即，将（x0，y0）代入，得x2+y2=4，

所以Q点在以O为圆心，2为半径的圆上，即Q点在以AB为直径的圆O上．

又A（-2，0），直线AQ的方程为，令x=2，则，

又B（2，0），N为MB的中点，∴，，

∴

==x0（x0-2）+x0（2-x0）=0，∴，∴直线QN与圆O相切．

解析

解：（1）因为椭圆经过点（0，1），所以b=1，又椭圆的离心率得，

即3a2=4c2，由a2=b2+c2得a2=1+c2，所以a=2，

故所求椭圆方程为；

（2）直线QN与圆O相切．

事实上，设P（x0，y0），则，设Q（x，y），∵HP=PQ，∴x=x0，y=2y0

即，将（x0，y0）代入，得x2+y2=4，

所以Q点在以O为圆心，2为半径的圆上，即Q点在以AB为直径的圆O上．

又A（-2，0），直线AQ的方程为，令x=2，则，

又B（2，0），N为MB的中点，∴，，

∴

==x0（x0-2）+x0（2-x0）=0，∴，∴直线QN与圆O相切．

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