直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：单选题

单选题

若实数x，y 满足：+=1，则x+y+10的取值范围是（　　）

A[5，15]

B[10，15]

C[-15，10]

D[-15，35]

正确答案

解析

解：由实数x，y 满足：+=1，

设x=4cosα，y=3sinα．

则x+y=4cosα+3sinα=．

设，

则x+y=5（sinαcosβ+cosαsinβ）

=5sin（α+β）．

所以-5≤x+y≤5

则5≤x+y+10≤15．

故选A．

题型：填空题

填空题

已知椭圆C：的一焦点为F1（-1，0），长轴长为2，过原点的直线y=kx（k＞0）与C相交于A、B两点（B在第一象限），BH垂直x轴，垂足为H．

（1）求椭圆C的方程；

（2）当k变化时，求△ABH面积的最大值；

（3）过B作直线l垂直于AB，已知l与直线AH交于点M，判断点M是否在椭圆C上，证明你的结论．

正确答案

解析

解：（1）由题意可得半焦距c=1，，解得，

∴b2=a2-c2=1．

∴椭圆的方程为．

（2）由对称性可设A（-x0，-y0），B（x0，y0），联立解得，

则S△ABH=2S△OBH=x0y0==．

当且仅当时取等号，即△ABH的面积最大值为．

（3）点M在椭圆上．下面给出证明：

设M（x1，y1）．由H（x0，0）得AH的斜率k1=，又BM的斜率．

∵l⊥AB，∴k1k+1=0，即2k1k2+1=0，

又2k2k1+1==，

∴，

∵点B（x0，y0）在椭圆上，∴，

∴，即．

∴点M在椭圆C．

题型：简答题

简答题

已知：圆x2+y2=1过椭圆+=1（a＞b＞0）的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切，与椭圆+=1相交于A，B两点记λ=•，且≤λ≤，

（1）求椭圆的方程；

（2）求k的取值范围．

正确答案

解：（1）由题意知2c=2，c=1，

∵圆与椭圆有且只有两个公共点，∴b=1，∴a=

∴椭圆的方程为；

（2）∵直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切，∴原点O到直线的距离为，即m2=k2+1

把直线y=kx+m代入椭圆方程，消去y可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=

λ=•=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=（1+k2）•+km•+m2=

∵≤λ≤，∴≤k2≤1

∴k的取值范围为[-1，-]，1]．

解析

解：（1）由题意知2c=2，c=1，

∵圆与椭圆有且只有两个公共点，∴b=1，∴a=

∴椭圆的方程为；

（2）∵直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切，∴原点O到直线的距离为，即m2=k2+1

把直线y=kx+m代入椭圆方程，消去y可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=

λ=•=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=（1+k2）•+km•+m2=

∵≤λ≤，∴≤k2≤1

∴k的取值范围为[-1，-]，1]．

题型：简答题

简答题

已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过A（0，2），B（，），

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过E（1，0）的直线l与椭圆C交于两个不同点M、N，求•的范围．

正确答案

解：（1）设椭圆C的方程为=1，（a＞b＞0），则a=2，，解得．可得椭圆C的方程为：．

设椭圆C的方程为，（a＞b＞0），不满足题意，应舍去．

综上可得：椭圆C的方程为：．

（2）设过E（1，0）的直线l的方程为：y=k（x-1），与椭圆C交于两个不同点M（x1，y1），N（x2，y2）．

联立，化为（k2+8）x2-2k2x+k2-4=0．

△＞0，化为k2＜8．

∴，x1x2=．

∴•=（x1-1，y1）•（x2-1，y2）=（x1-1）（x2-1）+y1y2

=（x1-1）（x2-1）+k2（x1-1）（x2-1）

=（1+k2）[x1x2-（x1+x2）+1]

=（1+k2）

==4-．

∵0≤k2＜8，

∴，

∴．

∴•的范围是．

解析

解：（1）设椭圆C的方程为=1，（a＞b＞0），则a=2，，解得．可得椭圆C的方程为：．

设椭圆C的方程为，（a＞b＞0），不满足题意，应舍去．

综上可得：椭圆C的方程为：．

（2）设过E（1，0）的直线l的方程为：y=k（x-1），与椭圆C交于两个不同点M（x1，y1），N（x2，y2）．

联立，化为（k2+8）x2-2k2x+k2-4=0．

△＞0，化为k2＜8．

∴，x1x2=．

∴•=（x1-1，y1）•（x2-1，y2）=（x1-1）（x2-1）+y1y2

=（x1-1）（x2-1）+k2（x1-1）（x2-1）

=（1+k2）[x1x2-（x1+x2）+1]

=（1+k2）

==4-．

∵0≤k2＜8，

∴，

∴．

∴•的范围是．

题型：单选题

单选题

已知抛物线x2=2py （p＞0），过点M （0，- ）向抛物线引两条切线，A、B为切点，则线段AB的长度是（　　）

A2p

正确答案

解析

解：由题意可知，过点M（0，-）与抛物线x2=2py （p＞0）相切的直线l的斜率存在，设为k，则l的方程为：y=kx-，与抛物线方程x2=2py （p＞0）联立，

消掉y得：x2-2pkx+p2=0，

∵直线l与抛物线x2=2py （p＞0）相切，

∴△=4p2k2-4p2=0，解得k=±1；

当k=1时，解得x=p，y=，

∴切点A的坐标为（p，）；

同理可求，当k=-1时，切点B的坐标为（-p，）；

∴|AB|=|p-（-p）|=2p．

故选A．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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