直线与圆锥曲线的综合问题_章节学习

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题型：简答题

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简答题

如图，已知椭圆，A1，A2，B1是椭圆C的顶点，若椭圆C的离心率，且过点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）作直线l，使得l∥A2B1，且与椭圆C相交于P、Q两点（异于椭圆C的顶点），设直线A1P和直线B1Q的倾斜角分别是α，β，求证：α+β=π．

正确答案

解：（Ⅰ）由已知得：，解得a=2，b=1，c=．∴椭圆C的方程为

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A1（-2，0），A2（2，0），B1（0，1）．

∴=．

∵l∥A1B1，∴．

可设直线l的方程为，设P（x1，y1），Q（x2，y2）．

联立消去y得x2-2mx+2m2-2=0．

∵直线l与椭圆有不同的两个交点，

∴△=4m2-4（2m2-2）＞0，即，

∴．

∵P，Q异于椭圆C的顶点，∴，∴，．

∴tanα+tanβ==．

∵，．

∴tanα+tanβ===0，

∴．

又∵α，β∈（0，π），∴α+β∈（0，2π），故α+β=π．

解析

解：（Ⅰ）由已知得：，解得a=2，b=1，c=．∴椭圆C的方程为

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A1（-2，0），A2（2，0），B1（0，1）．

∴=．

∵l∥A1B1，∴．

可设直线l的方程为，设P（x1，y1），Q（x2，y2）．

联立消去y得x2-2mx+2m2-2=0．

∵直线l与椭圆有不同的两个交点，

∴△=4m2-4（2m2-2）＞0，即，

∴．

∵P，Q异于椭圆C的顶点，∴，∴，．

∴tanα+tanβ==．

∵，．

∴tanα+tanβ===0，

∴．

又∵α，β∈（0，π），∴α+β∈（0，2π），故α+β=π．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：+y2=1（a＞1）的上顶点为A，左焦点为F，直线AF与圆M：x2+y2+6x-2y+7=0相切．过点（0，-）的直线与椭圆C交于P，Q两点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）当△APQ的面积达到最大时，求直线的方程．

正确答案

解：（I）将圆M的一般方程x2+y2+6x-2y+7=0化为标准方程（x+3）2+（y-1）2=3，则圆M的圆心M（-3，1），半径．

由得直线AF的方程为x-cy+c=0．

由直线AF与圆M相切，得，

解得或（舍去）．

当时，a2=c2+1=3，

故椭圆C的方程为．

（II）由题意可知，直线PQ的斜率存在，设直线的斜率为k，则直线PQ的方程为．

因为点在椭圆内，所以对任意k∈R，直线都与椭圆C交于不同的两点．

由得．

设点P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，

所以==．

又因为点A（0，1）到直线的距离，

所以△APQ的面积为．

设，则0＜t≤1且，．

因为0＜t≤1，所以当t=1时，△APQ的面积S达到最大，

此时，即k=0．

故当△APQ的面积达到最大时，直线的方程为．

解析

解：（I）将圆M的一般方程x2+y2+6x-2y+7=0化为标准方程（x+3）2+（y-1）2=3，则圆M的圆心M（-3，1），半径．

由得直线AF的方程为x-cy+c=0．

由直线AF与圆M相切，得，

解得或（舍去）．

当时，a2=c2+1=3，

故椭圆C的方程为．

（II）由题意可知，直线PQ的斜率存在，设直线的斜率为k，则直线PQ的方程为．

因为点在椭圆内，所以对任意k∈R，直线都与椭圆C交于不同的两点．

由得．

设点P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，

所以==．

又因为点A（0，1）到直线的距离，

所以△APQ的面积为．

设，则0＜t≤1且，．

因为0＜t≤1，所以当t=1时，△APQ的面积S达到最大，

此时，即k=0．

故当△APQ的面积达到最大时，直线的方程为．

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题型：填空题

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填空题

若直线y=x+m与曲线y2=x有两个不同的交点，则实数m的取值范围为______．

正确答案

（-∞，）

解析

解：把y=x+m 代入曲线y2=x化简可得y2-y+m=0 有两个不同的实数解，

故判别式△=1-4m＞0，∴m＜，

故答案为（-∞，）．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：的右焦点为F，准线方程为在椭圆C上且|PF|=．

（I）求椭圆C的方程；

（II）已知圆O：x2+y2=1的一条切线与椭圆C相交于A、B两点，且切线AB与圆D的切点Q在y轴右侧，求△AQF周长的最小值．

正确答案

解：（Ⅰ）由准线方程得①，因为点P的横坐标为，所以点P到右准线的距离为，

又P点到右焦点的距离|PF|=，所以②，联立①②得，a=2，c=，又b2=a2-c2，∴b=1．

故椭圆C的方程为；

（Ⅱ）如图，

设点A（x0，y0），则|AQ|=，

又由于点A在椭圆上，则，所以，

所以|AQ|= （x0＞0，因为切点Q在y轴右侧），

令由焦半径公式可得|AF|=，

于是|AQ|+|AF|=．

要使△AQF的周长最小，则只要|QF|最小即可，

显然当Q的坐标为（1，0）时，|QF|最短，为．

所以，△AQF周长的最小值为．

解析

解：（Ⅰ）由准线方程得①，因为点P的横坐标为，所以点P到右准线的距离为，

又P点到右焦点的距离|PF|=，所以②，联立①②得，a=2，c=，又b2=a2-c2，∴b=1．

故椭圆C的方程为；

（Ⅱ）如图，

设点A（x0，y0），则|AQ|=，

又由于点A在椭圆上，则，所以，

所以|AQ|= （x0＞0，因为切点Q在y轴右侧），

令由焦半径公式可得|AF|=，

于是|AQ|+|AF|=．

要使△AQF的周长最小，则只要|QF|最小即可，

显然当Q的坐标为（1，0）时，|QF|最短，为．

所以，△AQF周长的最小值为．

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题型：简答题

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简答题

（2015秋•如皋市期中）已知椭圆C：的离心率为，右焦点到右准线的距离为．

（1）求椭圆C的方程

（2）如图，点M，N为椭圆上相异的两点，其中点M在第一象限，且直线AM与直线BN的斜率互为相反数．

①证明：直线MN的斜率为常数

②求四边形AMBN面积S的取值范围．

正确答案

（1）解：∵椭圆C：，

∴其右准线方程为：x=，

∵右焦点到右准线的距离为，

∴-c=，

又∵e==，

∴a=2，c=，

∴a2=4，b2=a2-c2=4-3=1，

∴椭圆C的方程为：；

（2）由（1）可知，A（2，0），B（0，1），直线直线BN，AM的斜率均存在且不为0．

①证明：设直线AM的方程为：x=my+2，则直线BN的方程为：x=-my+m，

联立，消去x整理得：（4+m2）y2+4my=0，

∴M（，-），

联立，消去x整理得：（4+m2）y2-2m2y+m2-4=0，

∴N（，），

∴直线l的斜率为==；

②解：由（1）可知直线AB的方程为：x+2y-2=0，|AB|==，

由①可知：M（，-），N（，），

∵点M在第一象限，

∴＜-，即-2＜m＜0，

∴点M到直线AB的距离dM==-，

点N到直线AB的距离dN==，

∴S=|AB|（dM+dN）=•[-]

=-2•，

记f（x）=-2•，则令f′（x）==0，

即x2-4x-4=0，解得：x=或（舍），

∴f（x）在区间（-2，）上单调递增，在（，0）上单调递减，

又∵f（）=-2•=，

f（-2）=-2•=2，f（0）=-2•=2，

∴四边形AMBN面积S的取值范围是：（2，）．

解析

（1）解：∵椭圆C：，

∴其右准线方程为：x=，

∵右焦点到右准线的距离为，

∴-c=，

又∵e==，

∴a=2，c=，

∴a2=4，b2=a2-c2=4-3=1，

∴椭圆C的方程为：；

（2）由（1）可知，A（2，0），B（0，1），直线直线BN，AM的斜率均存在且不为0．

①证明：设直线AM的方程为：x=my+2，则直线BN的方程为：x=-my+m，

联立，消去x整理得：（4+m2）y2+4my=0，

∴M（，-），

联立，消去x整理得：（4+m2）y2-2m2y+m2-4=0，

∴N（，），

∴直线l的斜率为==；

②解：由（1）可知直线AB的方程为：x+2y-2=0，|AB|==，

由①可知：M（，-），N（，），

∵点M在第一象限，

∴＜-，即-2＜m＜0，

∴点M到直线AB的距离dM==-，

点N到直线AB的距离dN==，

∴S=|AB|（dM+dN）=•[-]

=-2•，

记f（x）=-2•，则令f′（x）==0，

即x2-4x-4=0，解得：x=或（舍），

∴f（x）在区间（-2，）上单调递增，在（，0）上单调递减，

又∵f（）=-2•=，

f（-2）=-2•=2，f（0）=-2•=2，

∴四边形AMBN面积S的取值范围是：（2，）．

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