直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

（文）如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．

（1）求x1x2与y1y2的值；

（2）求证：OA⊥OB．

正确答案

解：（1）设直线l的方程为：y=k（x-2）（k≠0），

由得k2x2-（4k2+2）x+4k2=0，k≠0，△＞0，

则，x1x2==4，

y1y2=k2（x1-2）（x2-2）=k2[x1x2-2（x1+x2）+4]=k2•[4-2×+4]=k2•（-）=-4．

所以x1x2=4，y1y2=-4．

（2）由（1）知，x1x2=4，y1y2=-4，

所以=（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2=4-4=0，

所以，即OA⊥OB．

解析

解：（1）设直线l的方程为：y=k（x-2）（k≠0），

由得k2x2-（4k2+2）x+4k2=0，k≠0，△＞0，

则，x1x2==4，

y1y2=k2（x1-2）（x2-2）=k2[x1x2-2（x1+x2）+4]=k2•[4-2×+4]=k2•（-）=-4．

所以x1x2=4，y1y2=-4．

（2）由（1）知，x1x2=4，y1y2=-4，

所以=（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2=4-4=0，

所以，即OA⊥OB．

题型：简答题

简答题

已知椭圆方程＞b＞0）的左右顶点为A，B，右焦点为F，若椭圆上的点到焦点F的最大距离为3，且离心率为方程2x2-5x+2=0的根，

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点P为椭圆上任一点，连接AP，PB并分别延长交直线l：x=4于M，N两点，求线段MN的最小值．

正确答案

解：（1）∵2x2-5x+2=0的根为x=2或x=，又离心率e∈（0，1），∴x=2舍去．

由题意列a，b，c的等量关系为：，解得a=2，b=．

∴椭圆的标准方程：；

（2）由题意知直线AP，PB的斜率都存在，设P（m，n），设直线AP斜率为k，AP直线方程为：y=k（x+2），

联立，得：（3+4k2）x2+16k2x+（16k2-12）=0，

则x1=-2，x2=m是其方程的两个根，∴-2m=，

∴，代入y=k（x+2），

得，∴，

又B（2，0）∴直线PB的斜率为，

∴PB直线方程为：，

又直线AP，BP与直线x=4相交于M，N两点，

∴，，

当且仅当时“=”成立，解得满足题意，

∴线段MN的最小值为6．

解析

解：（1）∵2x2-5x+2=0的根为x=2或x=，又离心率e∈（0，1），∴x=2舍去．

由题意列a，b，c的等量关系为：，解得a=2，b=．

∴椭圆的标准方程：；

（2）由题意知直线AP，PB的斜率都存在，设P（m，n），设直线AP斜率为k，AP直线方程为：y=k（x+2），

联立，得：（3+4k2）x2+16k2x+（16k2-12）=0，

则x1=-2，x2=m是其方程的两个根，∴-2m=，

∴，代入y=k（x+2），

得，∴，

又B（2，0）∴直线PB的斜率为，

∴PB直线方程为：，

又直线AP，BP与直线x=4相交于M，N两点，

∴，，

当且仅当时“=”成立，解得满足题意，

∴线段MN的最小值为6．

题型：单选题

单选题

直线与曲线y2=x只有一个公共点，则k=（　　）

正确答案

解析

解：当斜率k=0 时，直线y=k（x+2）+平行于x轴，与抛物线y2=x仅有一个公共点．

当斜率不等于0时，把y=k（x+2）+代入抛物线y2=x整理得ky2-y+2k+=0．

由题意可得，此方程有唯一解，

故判别式△=1-4k（2k+）=0

∴k=-或k=，

综上得：k=0，-或．

故选B．

题型：填空题

填空题

△ABC的三个顶点A，B，C均在椭圆上，椭圆右焦点F为△ABC的重心，则|AF|+|BF|+|CF|的值为______．

正确答案

解析

解：设点A是椭圆短轴的上端点，B（x1，y1），C（x2，y2）．

椭圆方程得

∴b= a=2

∴c=1，则A（0，） F（1，0）

∴=1，x1+x2=3

同理y1+y2=-

又3（x1+x2）+4（y1+y2）×k=0

∴k=，k为BC斜率

令BC直线为：y=x+m

则：y1+y2=（x1+x2）+2m

b=-

∴BC直线为：y=x-代入椭圆的方程求得B（2，-），C（1，-）．

利用两点是的距离公式得：则|AF|+|BF|+|CF|=．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

（2015•淮南一模）已知椭圆C中心在原点O，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=，且经过点A（1，）．

（Ⅰ）椭圆C的标准方程．

（Ⅱ）已知P、Q是椭圆C上的两点，若OP⊥OQ，求证：+为定值．

（Ⅲ）当+为（Ⅱ）所求定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为+=1（a＞b＞0），

∵离心率e==，①

且椭圆C过点A（1，），

∴+=1，②

又c2=a2-b2，③

∴由①②③组成方程组，

解得a2=4，b2=3，

∴椭圆C的标准方程为+=1；

（Ⅱ）证明：当OP与OQ的斜率都存在时，

设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=-x（k≠0），P（x，y）；

联立方程组，化为x2=，

∴|OP|2=x2+y2=，

同理可得|OQ|2=，

∴+=+=为定值；

当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，上式也成立，

∴+=为定值．

（Ⅲ）当+=定值时，OP⊥OQ不一定成立，证明如下：

当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，

则+=+=+=，满足条件；

当直线OP或OQ的斜率都存在时，

设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=k′x（k≠k′，k′≠0），P（x，y）；

联立方程组，化为x2=，

∴|OP|2=x2+y2=，

同理可得|OQ|2=，

∴+=+=；

化为（kk′）2=1，

∴kk′=±1；

∴OP⊥OQ或kk′=1，

因此OP⊥OQ不一定成立．

解析

解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为+=1（a＞b＞0），

∵离心率e==，①

且椭圆C过点A（1，），

∴+=1，②

又c2=a2-b2，③

∴由①②③组成方程组，

解得a2=4，b2=3，

∴椭圆C的标准方程为+=1；

（Ⅱ）证明：当OP与OQ的斜率都存在时，

设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=-x（k≠0），P（x，y）；

联立方程组，化为x2=，

∴|OP|2=x2+y2=，

同理可得|OQ|2=，

∴+=+=为定值；

当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，上式也成立，

∴+=为定值．

（Ⅲ）当+=定值时，OP⊥OQ不一定成立，证明如下：

当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，

则+=+=+=，满足条件；

当直线OP或OQ的斜率都存在时，

设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=k′x（k≠k′，k′≠0），P（x，y）；

联立方程组，化为x2=，

∴|OP|2=x2+y2=，

同理可得|OQ|2=，

∴+=+=；

化为（kk′）2=1，

∴kk′=±1；

∴OP⊥OQ或kk′=1，

因此OP⊥OQ不一定成立．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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