- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，过M（1，0）且斜率为
正确答案
解析
解：由题意可得，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为（
∵
故由中点公式可得B（
解得 p=2，
故选 B．
若直线l与椭圆x2+
正确答案
（arctan
解析
解：根据题意，直线l不与坐标轴平行；
设直线方程为y=kx+b（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），
则
消去y，整理得，
（9+k2）x2+2kbx+b2-9=0；
则△=（2kb）2-4（9+k2）（b2-9）＞0，即k2-b2+9＞0；
∴x1+x2=-
又∵线段MN被直线x+
∴MN中点的横坐标x=
即x1+x2=-1，∴9+k2=2kb，
整理得（k-b）2=b2-9≥0，
∴b2≥9，即b≥3或b≤-3；
又∵b（b-2k）＜0，
∴当b≥3时，b-2k＜0，k＞
b≤-3＜0时，b-2k＞0，k＜
∴k的取值范围是（-∞，-
∴直线l的倾斜角的取值范围是（arctan
故答案为：（arctan
已知椭圆C：
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意知，过点（3，0）的且斜率为
代入椭圆
设直线交椭圆与点A（x1，y1），B（x2，y2）．
则x1+x2=3，
则AB中点为（
故选D．
（I）求椭圆的离心率；
（II）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF2Q的周长是定值．
正确答案
解：（I）根据已知，椭圆的左右焦点为分别是F1（-1，0），F2（1，0），c=1，
H
解得a=3，
可得椭圆的方程是
（II）方法1：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
∵0＜x1＜3，∴
在圆中，M是切点，
∴
∴
同理|QF2|+|QM|=3，∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6，
因此△PF2Q的周长是6．
方法2：由
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
∴
=
∵PQ与圆相切，∴d=
∴
∵
∵0＜x1＜3，∴
∴
因此△PF2Q的周长是定值6．
解析
解：（I）根据已知，椭圆的左右焦点为分别是F1（-1，0），F2（1，0），c=1，
H
解得a=3，
可得椭圆的方程是
（II）方法1：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
∵0＜x1＜3，∴
在圆中，M是切点，
∴
∴
同理|QF2|+|QM|=3，∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6，
因此△PF2Q的周长是6．
方法2：由
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
∴
=
∵PQ与圆相切，∴d=
∴
∵
∵0＜x1＜3，∴
∴
因此△PF2Q的周长是定值6．
设抛物线x2=12y的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点且点P恰为AB的中点，则|AF|+|BF|=（ ）
正确答案
解析
解：抛物线 x2=12y的焦点为F（0，3），准线方程为y=-3，过A、B、P 作准线的垂线段，
垂足分别为 M、N、R，
点P恰为AB的中点，故|PR|是直角梯形AMNB的中位线，故|AM|+|BN|=2|PR|．
由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|PR|=2|1-（-3）|=8，
故选：B．
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