直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：单选题

单选题

已知双曲线与直线y=2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是（　　）

A（1，）

B（1，）∪（，+∞）

C（，+∞）

D[，+∞）

正确答案

解析

解：如图所示，

∵双曲线的渐近线方程为，若双曲线与直线y=2x有交点，则应有，

∴，解得．

故答案选：C．

题型：单选题

单选题

直线l：ax+y-3a+1=0（a∈R），椭圆C：+=1，直线l与椭圆C的公共点的个数为（　　）

A1个

B1个或者2个

C2个

D0个

正确答案

解析

解：ax+y-3a+1=0，即a（x-3）+y+1=0，则直线l过定点（3，-1），

又=+＜1，所以定点（3，-1）在椭圆内部，

故直线l与椭圆有两个公共点，

故选C．

题型：简答题

简答题

如图，A是抛物线x2=4y上异于原点的任意一点，F为抛物线的焦点，l为抛物线在A点处的切线，点B、C在抛物线上，AB⊥l且交y轴于M，点A、F、C三点共线，直线BC交y轴于N．

（1）求证：|AF|=|MF|；

（2）求|MN|的最小值．

正确答案

（1）证明：设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），

∵x2=4y，∴，∴y′=x

∴直线l的斜率k1=

∵AB⊥l，∴kAB=-

∴直线AB的方程为

令x=0，则y=y0+2，∴M（0，y0+2）

∵F（0，1），∴|MF|=y0+1

由抛物线的定义可得|AF|=y0+1，

∴|AF|=|MF|；

（2）解：直线AB的方程代入抛物线方程，消去y可得+x-2-y0=0

∴，∴

设直线AC：y=kx+1代入抛物线方程，消去y可得x2-4kx-4=0，∴x0x2=-4，∴x2=

∴kBC==

∴直线BC的方程为

令x=0得，代入x2=，，并化简得

∴N（0，），∴|MN|==≥3+2

当且仅当时等号成立，

所以|MN|的最小值为3+2．

解析

（1）证明：设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），

∵x2=4y，∴，∴y′=x

∴直线l的斜率k1=

∵AB⊥l，∴kAB=-

∴直线AB的方程为

令x=0，则y=y0+2，∴M（0，y0+2）

∵F（0，1），∴|MF|=y0+1

由抛物线的定义可得|AF|=y0+1，

∴|AF|=|MF|；

（2）解：直线AB的方程代入抛物线方程，消去y可得+x-2-y0=0

∴，∴

设直线AC：y=kx+1代入抛物线方程，消去y可得x2-4kx-4=0，∴x0x2=-4，∴x2=

∴kBC==

∴直线BC的方程为

令x=0得，代入x2=，，并化简得

∴N（0，），∴|MN|==≥3+2

当且仅当时等号成立，

所以|MN|的最小值为3+2．

题型：简答题

简答题

如图，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于点D、E．

（1）求C1、C2的方程；

（2）求证：MA⊥MB．

（3）记△MAB，△MDE的面积分别为S1、S2，若，求λ的取值范围．

正确答案

解：（1）椭圆C1的离心率e=，∴a2=2b2（1分）

又∵x轴被曲线截得的线段长等于C1的短轴长．

∴，得b=1，a2=2，可得椭圆C1的方程为

而抛物线C2的方程为y=x2-1；（3分）

（2）设直线AB方程为y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2），

则由消去y，得x2-kx-1=0（4分）

∴x1+x2=k，x1x2=-1，可得y1+y2=k（x1+x2）=k2，y1y2=kx1•kx2=k2x1x2=-k2∵M坐标为（0，-1），可得，

∴=x1x2+y1y2+y1+y2+1=-1-k2+k2+1=0

因此，，即MA⊥MB（7分）

（3）设直线MA方程为y=k1x-1，直线MB方程为y=k2x-1，且满足k1k2=-1

∴，解得，同理可得

因此，=（10分）

再由，解得，

同理可得

∴

=（13分）

，即λ=的取值范围为[，+∞）（15分）

解析

解：（1）椭圆C1的离心率e=，∴a2=2b2（1分）

又∵x轴被曲线截得的线段长等于C1的短轴长．

∴，得b=1，a2=2，可得椭圆C1的方程为

而抛物线C2的方程为y=x2-1；（3分）

（2）设直线AB方程为y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2），

则由消去y，得x2-kx-1=0（4分）

∴x1+x2=k，x1x2=-1，可得y1+y2=k（x1+x2）=k2，y1y2=kx1•kx2=k2x1x2=-k2∵M坐标为（0，-1），可得，

∴=x1x2+y1y2+y1+y2+1=-1-k2+k2+1=0

因此，，即MA⊥MB（7分）

（3）设直线MA方程为y=k1x-1，直线MB方程为y=k2x-1，且满足k1k2=-1

∴，解得，同理可得

因此，=（10分）

再由，解得，

同理可得

∴

=（13分）

，即λ=的取值范围为[，+∞）（15分）

题型：填空题

填空题

已知直线l与椭圆交于A和B两点，点（4，2）是线段AB的中点，则直线l的方程是______．

正确答案

x+2y-8=0

解析

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∴直线l的斜率k=．

∵点（4，2）是线段AB的中点，∴，

∵此两点在椭圆上，∴，．

∴，

∴，解得k=．

∴直线l的方程为，化为x+2y-8=0．

故答案为x+2y-8=0．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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