- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
正确答案
解：（Ⅰ）
所以椭圆的方程为
（Ⅱ）是，证明如下：
①当直线AB的斜率不存在时，即x1=x2，y1=-y2
当
又A（x1，y1）在椭圆上，所以
所以
②当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m，则
得到
∵
∴
代入整理，得2m2-k2=4，（10分）
∴
综上所述，所以三角形的面积为定值（13分）
解析
解：（Ⅰ）
所以椭圆的方程为
（Ⅱ）是，证明如下：
①当直线AB的斜率不存在时，即x1=x2，y1=-y2
当
又A（x1，y1）在椭圆上，所以
所以
②当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m，则
得到
∵
∴
代入整理，得2m2-k2=4，（10分）
∴
综上所述，所以三角形的面积为定值（13分）
已知椭圆
（1）求椭圆的方程；
（2）设过椭圆顶点B（0，b），斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，求
正确答案
解：（1）双曲线
∵椭圆的长半轴长为a=2，
∴b2=a2-c2=1
∴椭圆方程为
（2）由椭圆，设直线方程为y=kx+1，联立
所以xD=-
依题意k≠0，k≠±
因为|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，所以|BE|2=|BD||DE|，…（9分）
所以b2=（1-yD）|yD|，即（1-yD）|yD|=1，…（10分）
当yD＞0时，yD2-yD+1=0，无解，…（11分）
当yD＜0时，yD2-yD-1=0，解得
所以
解析
解：（1）双曲线
∵椭圆的长半轴长为a=2，
∴b2=a2-c2=1
∴椭圆方程为
（2）由椭圆，设直线方程为y=kx+1，联立
所以xD=-
依题意k≠0，k≠±
因为|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，所以|BE|2=|BD||DE|，…（9分）
所以b2=（1-yD）|yD|，即（1-yD）|yD|=1，…（10分）
当yD＞0时，yD2-yD+1=0，无解，…（11分）
当yD＜0时，yD2-yD-1=0，解得
所以
椭圆mx2+ny2=1与直线x+y-1=0相交于A，B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为
A
B
C1
D2
正确答案
解析
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），
∴
kAB=
由AB的中点为M可得x1+x2=2x0，y1+y2=2y0
由A，B在椭圆上，可得
两式相减可得m（x1-x2）（x1+x2）+n（y1-y2）（y1+y2）=0③，
把①②代入③可得m（x1-x2）•2x0-n（x1-x2）•2y0=0③，
整理可得
故选A
（法二）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）
联立方程
∴x1+x2=
由中点坐标公式可得，
∵M与坐标原点的直线的斜率为
∴
故选A
直线y=x+3与曲线
正确答案
解析
解：若x≥0
若x＜0由
综上所述，可以排除A、B、C．
故选D．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若
正确答案
解：（1）∵圆G：
解得F（2，0），B（0，
∴c=2，b=
∴a2=b2+c2=6．
故椭圆的方程为
（2）由题意得直线l的方程为
由
由△=4m2-8（m2-6）＞0解得
又
设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=m，
y1y2=
∵
∴
∵
解得0＜m＜3，又
∴
解析
解：（1）∵圆G：
解得F（2，0），B（0，
∴c=2，b=
∴a2=b2+c2=6．
故椭圆的方程为
（2）由题意得直线l的方程为
由
由△=4m2-8（m2-6）＞0解得
又
设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=m，
y1y2=
∵
∴
∵
解得0＜m＜3，又
∴
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