直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，=是它的一条渐近线的一个方向向量．

（1）求双曲线C的方程；

（2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求的值；

（3）对于双曲线Γ：，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（M，N都不同于点E），且EM⊥EN，求证：直线MN与x轴的交点是一个定点．

正确答案

（1）解：设双曲线C的方程为，则a=1，

又，得，所以，双曲线C的方程为．

（2）解：当直线AB垂直于x轴时，其方程为x=-3，A，B的坐标为（-3，4）、（-3，-4），，所以=0．

当直线AB不与x轴垂直时，设此直线方程为y=k（x+3），

由得（2-k2）x2-6k2x-9k2-2=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，

故==++9k2+1=0．

综上，=0．

（3）证明：设直线MN的方程为：x=my+t，

由，得（b2m2-a2）y2+2b2mty+b2（t2-a2）=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，分

由EM⊥EN，得（x1-a）（x2-a）+y1y2=0，（my1+t-a）（my2+t-a）+y1y2=0

即，，

化简得，或t=a（舍），

所以，直线MN过定点（，0）．

解析

（1）解：设双曲线C的方程为，则a=1，

又，得，所以，双曲线C的方程为．

（2）解：当直线AB垂直于x轴时，其方程为x=-3，A，B的坐标为（-3，4）、（-3，-4），，所以=0．

当直线AB不与x轴垂直时，设此直线方程为y=k（x+3），

由得（2-k2）x2-6k2x-9k2-2=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，

故==++9k2+1=0．

综上，=0．

（3）证明：设直线MN的方程为：x=my+t，

由，得（b2m2-a2）y2+2b2mty+b2（t2-a2）=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，分

由EM⊥EN，得（x1-a）（x2-a）+y1y2=0，（my1+t-a）（my2+t-a）+y1y2=0

即，，

化简得，或t=a（舍），

所以，直线MN过定点（，0）．

题型：填空题

填空题

已知A为双曲线的右顶点，若双曲线的右支上存在异于A的点B，使得直线AB的倾斜角为，则双曲线的离心率的取值范围为______．

正确答案

解析

解：设直线AB的方程为y=x-a，联立，化为（b2-a2）x2+2a3x-a4-a2b2=0．

∵此方程存在两个正实数根，一个是x1=a，另一个x2＞a．

且＞a2，化为a2＞b2=c2-a2，得到，解得．

又e＞1．

∴双曲线的离心率的取值范围为（1，）．

故答案为（1，）．

题型：简答题

简答题

如图，双曲线与抛物线x2=3（y+m）相交于A（x1，y1），B（-x1，y1），C（-x2，y2）D（x2，y2），（x1＞0，x2＞0），直线AC、BD的交点为P（0，p）．

（Ⅰ）试用m表示x1x2；

（Ⅱ）当m变化时，求p的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）依题意，A、B、C、D四点坐标是下面方程组的解：

消去x，得y2-y+1-m=0，

由△=1-4（1-m）＞0，得m＞，且y1+y2=1，y1y2=1-m．

x1x2=•==．

（Ⅱ）由向量=（x1，y1-p）与=（-x2，y2-p）共线，

得x1（y2-p）+x2（y1-p）=0，

∴p=

=，

∵m＞，∴0＜p＜，

故p的取值范围是．

解析

解：（Ⅰ）依题意，A、B、C、D四点坐标是下面方程组的解：

消去x，得y2-y+1-m=0，

由△=1-4（1-m）＞0，得m＞，且y1+y2=1，y1y2=1-m．

x1x2=•==．

（Ⅱ）由向量=（x1，y1-p）与=（-x2，y2-p）共线，

得x1（y2-p）+x2（y1-p）=0，

∴p=

=，

∵m＞，∴0＜p＜，

故p的取值范围是．

题型：简答题

简答题

已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=-1相切，点C在l上．

（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；

（2）设过点P，且斜率为-的直线与曲线M相交于A、B两点．问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由．

正确答案

解：（1）∵动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=-1相切，

∴动圆圆心M到定点P（1，0）和到定直线x=-1的距离相等．

∴动圆圆心的轨迹是以P（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，

轨迹方程为y2=4x；

（2）设AB所在直线方程为．

由，消去y得：3x2-10x+3=0．

解得：A（），B（3，-2），

假设存在这样的C点，使得△ABC为以CA、CB为两腰的等腰三角形，

设C（-1，y），则|AC|=|AB|=|BC|，

∴①

②

解①得：y=．

解②得：y=-．

∴满足|AC|=|AB|=|BC|的点C不存在．

∴△ABC不能为正三角形．

解析

解：（1）∵动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=-1相切，

∴动圆圆心M到定点P（1，0）和到定直线x=-1的距离相等．

∴动圆圆心的轨迹是以P（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，

轨迹方程为y2=4x；

（2）设AB所在直线方程为．

由，消去y得：3x2-10x+3=0．

解得：A（），B（3，-2），

假设存在这样的C点，使得△ABC为以CA、CB为两腰的等腰三角形，

设C（-1，y），则|AC|=|AB|=|BC|，

∴①

②

解①得：y=．

解②得：y=-．

∴满足|AC|=|AB|=|BC|的点C不存在．

∴△ABC不能为正三角形．

题型：简答题

简答题

设椭圆E：的焦点在x轴上

（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；

（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．

正确答案

解：（1）∵椭圆E的焦距为1，∴，解得．

故椭圆E的方程为．

（2）设P（x0，y0），F1（-c，0），F2（c，0），其中．

由题设可知：x0≠c．则直线F1P的斜率=，直线F2P的斜率=．

故直线F2P的方程为．

令x=0，解得．即点Q．

因此直线F1Q的斜率=．

∵F1Q⊥F1P，∴=．

化为．

联立，及x0＞0，y0＞0，

解得，．

即点P在定直线x+y=1上．

解析

解：（1）∵椭圆E的焦距为1，∴，解得．

故椭圆E的方程为．

（2）设P（x0，y0），F1（-c，0），F2（c，0），其中．

由题设可知：x0≠c．则直线F1P的斜率=，直线F2P的斜率=．

故直线F2P的方程为．

令x=0，解得．即点Q．

因此直线F1Q的斜率=．

∵F1Q⊥F1P，∴=．

化为．

联立，及x0＞0，y0＞0，

解得，．

即点P在定直线x+y=1上．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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