直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

已知椭圆+=1的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2，点P为椭圆短轴的端点，且△PF1F2的面积为2}．

（1）求椭圆的方程；

（2）点Q是椭圆上任意一点，A（4，6），求|QA|-|QF1|的最小值；

（3）点是椭圆上的一定点，B1，B2是椭圆上的两动点，且直线BB1，BB2关于直线x=1对称，试证明直线B1B2的斜率为定值．

正确答案

解：（1）∵，，

∴b=2，

∴a==3，

故椭圆方程为=1；

（2）由（1）得|QF1|+|QF2|=6，

∴|QA|-|QF1|=|QA|-（6-|QF2|）=|QA|+|QF2|-6，

而，

于是|QA|-|QF1|的最小值为3．

（3）证明：设直线BB1的斜率为k，∵直线BB1与直线BB2关于直线x=1对称，

∴直线BB2的斜率为-k，于是直线BB1的方程为，设B1（x1，y1），B2（x2，y2），

由可得，，

∵该方程有一个根为x=1，∴，

同理得．

∴===，

故直线BB1的斜率为定值．

解析

解：（1）∵，，

∴b=2，

∴a==3，

故椭圆方程为=1；

（2）由（1）得|QF1|+|QF2|=6，

∴|QA|-|QF1|=|QA|-（6-|QF2|）=|QA|+|QF2|-6，

而，

于是|QA|-|QF1|的最小值为3．

（3）证明：设直线BB1的斜率为k，∵直线BB1与直线BB2关于直线x=1对称，

∴直线BB2的斜率为-k，于是直线BB1的方程为，设B1（x1，y1），B2（x2，y2），

由可得，，

∵该方程有一个根为x=1，∴，

同理得．

∴===，

故直线BB1的斜率为定值．

题型：填空题

填空题

设x，y∈R，集合A={（x，y）|x2-4y2=4}，B={（x，y）|y=kx+1}，若A∩B为单元素集，则k的值有______个．

正确答案

解析

解：∵x2-4y2=4，

∴-y2=1，

∵直线y=kx+1恒过（0，1）．

∴据图可判断；当直线与渐近线平行时，1个交点，

∴k=，1个交点，

∵直线与双曲线相切时，1个公共点，

∴根据对称性，这样的直线有2条，

∴k的值有2个，

∴当直线与双曲线有1个公共点时，k的值有4个，

∴若A∩B为单元素集，则k的值有 4个，

故答案为：4

题型：单选题

单选题

若曲线C1：x2+y2-2x=0与曲线C2：y（y-mx-m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（　　）

A（-，）

B（-∞，-）∪（，+∞）

C[-，]

D（-，0）∪（0，）

正确答案

解析

解：由题意可知曲线C1：x2+y2-2x=0表示一个圆，

化为标准方程得：（x-1）2+y2=1，

所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；

C2：y（y-mx-m）=0表示两条直线y=0和y-mx-m=0，

由直线y-mx-m=0可知：此直线过定点（-1，0），

在平面直角坐标系中画出图象如图所示：

当直线y-mx-m=0与圆相切时，

圆心到直线的距离d==r=1，

化简得：m2=，m=±．

则直线y-mx-m=0与圆相交时，

m∈（-，0）∪（0，），

故选：D．

题型：简答题

简答题

已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C过点．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设点T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且，若的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x得c==1，

设椭圆C的标准方程为，

∵椭圆C过点．

∴，

又a2=b2+1，

联立解得b2=1，a2=2．

故椭圆C的标准方程为．

（Ⅱ）

1）当直线l的斜率不存在时，即λ=-1时，，，

又T（2，0），∴．

2）当直线l的斜率存在时，即λ∈[-2，-1）时，设直线l的方程为y=k（x-1），

由得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），显然y1≠0，y2≠0，则由根与系数的关系，

可得：，，

∴，①②

∵，∴，且λ＜0．

将①式平方除以②式得：，

由λ∈[-2，-1）得即．

故，解得．

∵=（x1-2，y1），=（x2-2，y2），

∴=（x1+x2-4，y1+y2），

又，

故=，

令，∵，∴，即，

∴．

综上所述：∈．

解析

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x得c==1，

设椭圆C的标准方程为，

∵椭圆C过点．

∴，

又a2=b2+1，

联立解得b2=1，a2=2．

故椭圆C的标准方程为．

（Ⅱ）

1）当直线l的斜率不存在时，即λ=-1时，，，

又T（2，0），∴．

2）当直线l的斜率存在时，即λ∈[-2，-1）时，设直线l的方程为y=k（x-1），

由得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），显然y1≠0，y2≠0，则由根与系数的关系，

可得：，，

∴，①②

∵，∴，且λ＜0．

将①式平方除以②式得：，

由λ∈[-2，-1）得即．

故，解得．

∵=（x1-2，y1），=（x2-2，y2），

∴=（x1+x2-4，y1+y2），

又，

故=，

令，∵，∴，即，

∴．

综上所述：∈．

题型：简答题

简答题

设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点P（2，4），过P作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为k1，k2．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）若k1k2=1，求证直线AB恒过定点，并求出其坐标．

正确答案

解：（1）依题意，可设所求抛物线的方程为y2=2px（p＞0），

因抛物线过点（2，4），故42=4p，p=4，抛物线方程为y2=8x．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

则

．

∵k1k2=1，∴，

∴y1y2+4（y1+y2）-48=0．

直线AB的方程为，即（y1+y2）y-y1y2=8x．

将y1y2=-4（y1+y2）+48代入上式得：

（y1+y2）（y+4）=8（x+6），

即（8x+48）-（y1+y2）（y+4）=0．

令k=-（y1+y2），则方程化为（8x+48）+k（y+4）=0．

由直线系方程得，解得．

∴该直线恒过定点（-6，-4）．

解析

解：（1）依题意，可设所求抛物线的方程为y2=2px（p＞0），

因抛物线过点（2，4），故42=4p，p=4，抛物线方程为y2=8x．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

则

．

∵k1k2=1，∴，

∴y1y2+4（y1+y2）-48=0．

直线AB的方程为，即（y1+y2）y-y1y2=8x．

将y1y2=-4（y1+y2）+48代入上式得：

（y1+y2）（y+4）=8（x+6），

即（8x+48）-（y1+y2）（y+4）=0．

令k=-（y1+y2），则方程化为（8x+48）+k（y+4）=0．

由直线系方程得，解得．

∴该直线恒过定点（-6，-4）．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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