直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：填空题

填空题

已知过点A（0，2）的直线与抛物线y2=4x交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），计算的值为______．

正确答案

解析

解：若过（0，2）的直线斜率不存在或k=0，则直线与抛物线只有一个交点不满足要求；

若过（0，2）的直线斜率存在且不为0，则可设y=kx+2

又因为A，B两点是直线与抛物线y2=4x的交点，则

，

即 y2-y+=0

∴y1+y2=，且 y1•y2=，

∴=．

故答案为：．

题型：填空题

填空题

已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：______．

正确答案

x+2y-3=0

解析

解：设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），

∵A（1，1）为EF中点，

∴x1+x2=2，y1+y2=2，

把E（x1，y1），F（x2，y2）分别代入椭圆，

可得，

两式相减，可得（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0，

∴2（x1-x2）+4（y1-y2）=0，

∴=-

∴以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y-1=-（x-1），

整理，得x+2y-3=0．

故答案为：x+2y-3=0．

题型：简答题

简答题

设F1，F2分别为椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E 的上顶点，且|AB|=2．

（1）若椭圆E 的离心率为，求椭圆E 的方程；

（2）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线F2P与y 轴相交于点Q，若以PQ 为直径的圆经过点F1，证明：|OP|＞．

正确答案

解：（1）设c=，由题意可得a2+b2=4，

且e==，解得a=，b=1，c=，

则椭圆方程为+y2=1；

（2）证明：a2+b2=4，则椭圆E：+=1，

F1（-c，0），F2（c，0），

c==，设P（x0，y0），

则x0≠c，直线F1P的斜率=，

直线F2P的斜率为=，

直线F2P：y=（x-c），

当x=0时，y=-，即Q（0，-），

F1Q的斜率为=，

以PQ 为直径的圆经过点F1，

即有F1P⊥F1Q，即有•=•=-1，

化简可得y02=x02-（2a2-4）①

又P为E上一点，在第一象限内，则+=1，x0＞0，y0＞0，②

由①②解得x0=a2，y0=2-a2，

即有|OP|2=x02+y02=（a2-2）2+2，

由a2+b2=4＜2a2，

即a2＞2，

则有|OP|＞．

解析

解：（1）设c=，由题意可得a2+b2=4，

且e==，解得a=，b=1，c=，

则椭圆方程为+y2=1；

（2）证明：a2+b2=4，则椭圆E：+=1，

F1（-c，0），F2（c，0），

c==，设P（x0，y0），

则x0≠c，直线F1P的斜率=，

直线F2P的斜率为=，

直线F2P：y=（x-c），

当x=0时，y=-，即Q（0，-），

F1Q的斜率为=，

以PQ 为直径的圆经过点F1，

即有F1P⊥F1Q，即有•=•=-1，

化简可得y02=x02-（2a2-4）①

又P为E上一点，在第一象限内，则+=1，x0＞0，y0＞0，②

由①②解得x0=a2，y0=2-a2，

即有|OP|2=x02+y02=（a2-2）2+2，

由a2+b2=4＜2a2，

即a2＞2，

则有|OP|＞．

题型：填空题

填空题

已知直线l：y=2x-1与抛物线C：y2=2px（p＞0）交于A、B两点，若抛物线上存在点M，使△MAB的重心恰好是抛物线C的焦点F，则p=______．

正确答案

解析

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），F（）

联立方程整理可得，4x2-2（p+2）x+1=0

∴，y1+y2=2（x1+x2）-2=p

由三角形的重心坐标公式可得，

∴，代入抛物线的方程可得（-p）2=2p（p-1）

∴p=2

故答案为：2

题型：简答题

简答题

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，且过点．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．

（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；

（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．

正确答案

解：（1）由题意得2c=2，∴c=1，又，a2=b2+1．

消去a可得，2b4-5b2-3=0，解得b2=3或（舍去），则a2=4，

∴椭圆E的方程为．

（2）（ⅰ）设P（x1，y1）（y1≠0），M（2，y0），则，，

∵A，P，M三点共线，∴，∴，

∵P（x1，y1）在椭圆上，∴，故为定值．

（ⅱ）直线BP的斜率为，直线m的斜率为，

则直线m的方程为，====，

即．

所以直线m过定点（-1，0）．

解析

解：（1）由题意得2c=2，∴c=1，又，a2=b2+1．

消去a可得，2b4-5b2-3=0，解得b2=3或（舍去），则a2=4，

∴椭圆E的方程为．

（2）（ⅰ）设P（x1，y1）（y1≠0），M（2，y0），则，，

∵A，P，M三点共线，∴，∴，

∵P（x1，y1）在椭圆上，∴，故为定值．

（ⅱ）直线BP的斜率为，直线m的斜率为，

则直线m的方程为，====，

即．

所以直线m过定点（-1，0）．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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