直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：单选题

单选题

已知F是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，点E在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率e的取值范围为（　　）

A（1，+∞）

B（1，2）

C（1，1+）

D（2，+∞）

正确答案

解析

解：由题意，直线AB方程为：x=-c，其中c=

因此，设A（-c，y0），B（-c，-y0），

∴=1，解之y0=，得|AF|=，

∵双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内部

∴|EF|＜|AF|，即a+c＜，

将b2=c2-a2，并化简整理，得2a2+ac-c2＜0

两边都除以a2，整理得e2-e-2＞0，解之得e＞2（舍负）

故选：D．

题型：简答题

简答题

已知定点（p为常数，p＞O），B为x轴负半轴上的一个动点，动点M使得|AM|=|AB|，且线段BM的中点在y轴上．

（I）求动点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设EF为曲线C的一条动弦（EF不垂直于x轴），其垂直平分线与x轴交于点T（4，0），当p=2时，求|EF|的最大值．

正确答案

解：如图，

（Ⅰ）设M（x，y），则BM的中点G的坐标为，B（-x，0）．

又A（），故．

由题意知GA⊥GM，所以，

所以y2=2px．

当M点在x轴上时不满足题意，故曲线C的方程为y2=2px（p＞0，x≠0）；

（Ⅱ）设弦EF所在直线方程为y=kx+b，E（x1，y1），F（x2，y2）．

由，得：k2x2+（2kb-4）x+b2=0①

则．

则线段EF的中点为，即．

线段EF的垂直平分线方程为．

令y=0，x=4，得，得bk=2-2k2，所以．

所以

=．

再由①，△=（2kb-4）2-4k2b2=4k2b2-16kb+16-4k2b2=16-16kb

=16-16（2-2k2）=32k2-16＞0．

得：，即0＜．

所以，当，即k=时，|EF|2取得最大值，最大值等于36，即|EF|的最大值为6．

解析

解：如图，

（Ⅰ）设M（x，y），则BM的中点G的坐标为，B（-x，0）．

又A（），故．

由题意知GA⊥GM，所以，

所以y2=2px．

当M点在x轴上时不满足题意，故曲线C的方程为y2=2px（p＞0，x≠0）；

（Ⅱ）设弦EF所在直线方程为y=kx+b，E（x1，y1），F（x2，y2）．

由，得：k2x2+（2kb-4）x+b2=0①

则．

则线段EF的中点为，即．

线段EF的垂直平分线方程为．

令y=0，x=4，得，得bk=2-2k2，所以．

所以

=．

再由①，△=（2kb-4）2-4k2b2=4k2b2-16kb+16-4k2b2=16-16kb

=16-16（2-2k2）=32k2-16＞0．

得：，即0＜．

所以，当，即k=时，|EF|2取得最大值，最大值等于36，即|EF|的最大值为6．

题型：简答题

简答题

已知点A（0，-2），B（0，4），动点P（x，y）满足；

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）设（1）中所求轨迹方程与直线y=x+2交于C、D两点；求证OC⊥OD（O为坐标原点）．

正确答案

解：（1）∵A（0，-2），B（0，4），P（x，y）

∴，

∵

∴-x（-x）+（4-y）（-2-y）=y2-8

整理可得，x2=2y

（2）联立可得x2-2x-4=0

设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=2，x1x2=-4，

∴y1y2=（x1+2）（x2+2）=x1x2+2（x1+x2）+4=4

∵=x1x2+y1y2=0

∴OC⊥OD

解析

解：（1）∵A（0，-2），B（0，4），P（x，y）

∴，

∵

∴-x（-x）+（4-y）（-2-y）=y2-8

整理可得，x2=2y

（2）联立可得x2-2x-4=0

设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=2，x1x2=-4，

∴y1y2=（x1+2）（x2+2）=x1x2+2（x1+x2）+4=4

∵=x1x2+y1y2=0

∴OC⊥OD

题型：简答题

简答题

已知抛物线C的准线为x=（p＞0），顶点在原点，抛物线C与直线l：y=x-1相交所得弦的长为3，求p的值和抛物线方程．

正确答案

解：由题意设抛物线的方程为y2=px（p＞0），联立，化为x2-（2+p）x+1=0，

则x1+x2=2+p，x1x2=1，

∴=，

化为（2+p）2=13，

∵p＞0，

∴．

∴抛物线的方程为．

解析

解：由题意设抛物线的方程为y2=px（p＞0），联立，化为x2-（2+p）x+1=0，

则x1+x2=2+p，x1x2=1，

∴=，

化为（2+p）2=13，

∵p＞0，

∴．

∴抛物线的方程为．

题型：简答题

简答题

如图，已知中心在原点且焦点在x轴上的椭圆E经过点A（3，1），离心率．

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点A且斜率为1的直线交椭圆E于A、C两点，过原点O与AC垂直的直线交椭圆E于B、D两点，求证A、B、C、D四点在同一个圆上．

正确答案

（1）解：设椭圆方程为（a＞b＞0），因为离心率，所以a2=3b2，…（2分）

所以椭圆方程为，

又因为经过点A（3，1），则，…（4分）

所以b2=4，所以a2=12，属于椭圆的方程为．…（6分）

（2）证明：直线AC的方程为y=x-2，与椭圆方程联立，可得x2-3x=0，∴x=0或x=3，∴C（0，-2）

直线BD的方程为y=-x，与椭圆方程联立，可得x2=3，∴x=，∴B（），D（）

设经过B，C，D三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有

∴D=-1，E=-1，F=-6，∴圆的方程为x2+y2-x-y-6=0，

∵点A（3，1）也适合，∴A（3，1）在圆上，

∴A、B、C、D四点在同一个圆上．

解析

（1）解：设椭圆方程为（a＞b＞0），因为离心率，所以a2=3b2，…（2分）

所以椭圆方程为，

又因为经过点A（3，1），则，…（4分）

所以b2=4，所以a2=12，属于椭圆的方程为．…（6分）

（2）证明：直线AC的方程为y=x-2，与椭圆方程联立，可得x2-3x=0，∴x=0或x=3，∴C（0，-2）

直线BD的方程为y=-x，与椭圆方程联立，可得x2=3，∴x=，∴B（），D（）

设经过B，C，D三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有

∴D=-1，E=-1，F=-6，∴圆的方程为x2+y2-x-y-6=0，

∵点A（3，1）也适合，∴A（3，1）在圆上，

∴A、B、C、D四点在同一个圆上．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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