直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

如图，椭圆Γ的中心在坐标原点O，过右焦点F（1，0）且垂直于椭圆对称轴的弦MN的长为3．

（1）求椭圆Γ的方程；

（2）直线l经过点O交椭圆Γ于P、Q两点，NP=NQ，求直线l的方程．

正确答案

解：（1）设椭圆Γ的方程为（a＞b＞0），

∵过右焦点F（1，0）且垂直于椭圆对称轴的弦MN的长为3．

∴解得a=2，，c=1．

∴椭圆Γ的方程为．

（2）连接ON，由椭圆的对称性OP=OQ，

∵NP=NQ，∴ON⊥PQ，

∵=，∴，

∴，，

∴直线l的方程为．

解析

解：（1）设椭圆Γ的方程为（a＞b＞0），

∵过右焦点F（1，0）且垂直于椭圆对称轴的弦MN的长为3．

∴解得a=2，，c=1．

∴椭圆Γ的方程为．

（2）连接ON，由椭圆的对称性OP=OQ，

∵NP=NQ，∴ON⊥PQ，

∵=，∴，

∴，，

∴直线l的方程为．

题型：填空题

填空题

已知抛物线y2=2px（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点，则我们知道+为定值，请写出关于椭圆的类似的结论：______，当椭圆方程为+=1时，+=______．

正确答案

过椭圆的焦点F的动直线交椭圆于A、B两点，则+为定值

解析

解：已知抛物线y2=2px（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点，则我们知道+为定值，

关于椭圆的类似的结论：过椭圆的焦点F的动直线交椭圆于A、B两点，则+为定值

已知椭圆+=1（a＞b＞0），过焦点F的动直线l交椭圆于A、B两点，

则+=为定值．当椭圆方程为+=1时，+=．

故答案为：过椭圆的焦点F的动直线交椭圆于A、B两点，则+为定值；

题型：简答题

简答题

已知椭圆C的焦点是F1（0，-），F2（0，），点P在椭圆C上且满足|PF1|+|PF2|=4

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程

（Ⅱ）若A为椭圆C的下顶点，过点A的两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点P，Q（P，Q与A不重合），试证明直线PQ经过定点．

正确答案

解：（I）∵椭圆C的焦点是F1（0，-），F2（0，），点P在椭圆C上且满足|PF1|+|PF2|=4，

∴2a=4，a=2，c=，b=，

=1，

（Ⅱ）∵A为椭圆C的下顶点，

∴A（0，-2），

设l1：y=kx-2，l2：y=-2，

或

即（4+k2）x2-4kx=0，

x=，y=，

P（，），

把-代入k得出Q（，）

当k=1时P（，-），Q（-，），

猜想定点为M（0，-），

∴KPM=，KQM=，

即KPM，=KQM=，

所以P，Q，M三点共线，

直线PQ经过定点M（0.）．

解析

解：（I）∵椭圆C的焦点是F1（0，-），F2（0，），点P在椭圆C上且满足|PF1|+|PF2|=4，

∴2a=4，a=2，c=，b=，

=1，

（Ⅱ）∵A为椭圆C的下顶点，

∴A（0，-2），

设l1：y=kx-2，l2：y=-2，

或

即（4+k2）x2-4kx=0，

x=，y=，

P（，），

把-代入k得出Q（，）

当k=1时P（，-），Q（-，），

猜想定点为M（0，-），

∴KPM=，KQM=，

即KPM，=KQM=，

所以P，Q，M三点共线，

直线PQ经过定点M（0.）．

题型：填空题

填空题

若双曲线C1：的一条渐近线与抛物线C2：y2=2px（p＞0）的一个交点在x轴上的射影在抛物线C2的焦点的右侧，则双曲线C1的离心率的取值范围是______．

正确答案

（1，）

解析

解：取双曲线C1的一条渐近线方程y=x，代入抛物线y2=2px得：=2px，

解得x=0，或x=

∵交点在x轴上的射影在抛物线C2的焦点（，0）的右侧

∴＞

∴b2＜4a2，即c2-a2＜4a2∴e2＜5，e＜

故其离心率e∈（1，）

故答案为（1，）

题型：简答题

简答题

如图，点P（0，-1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．

正确答案

解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2．

∴椭圆C1的方程为；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．

由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx-1．

又圆的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．

∴|AB|==．

又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得，

∴|PD|=．

∴三角形ABD的面积S△==，

令4+k2=t＞4，则k2=t-4，

f（t）===，

∴S△=，当且仅，即，当时取等号，

故所求直线l1的方程为．

解析

解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2．

∴椭圆C1的方程为；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．

由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx-1．

又圆的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．

∴|AB|==．

又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得，

∴|PD|=．

∴三角形ABD的面积S△==，

令4+k2=t＞4，则k2=t-4，

f（t）===，

∴S△=，当且仅，即，当时取等号，

故所求直线l1的方程为．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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