直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点坐标是F1（0，-1），离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点F1作直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的另一个焦点，若=时，求直线AB的方程．

正确答案

解：（1）：设椭圆的标准方程为=1，

∵一个焦点坐标是F1（0，-1），离心率为．

∴c=1，a=

∵a2=b2+c2

∴b=

∴=1，

（2）∵F1（0，-1），F2是椭圆的另一个焦点（0，1），A（x1，y1），B（x2，y2）

∴直线AB的方程y=kx-1①，k存在时

①代入=1化简得：（2k2+3）x2-4kx-4=0，

x1+x2=，x1x2=，

|AB|=，

∵F2到直线AB的距离为：

=××=，

k2=3，即k=，

∴直线AB的方程y=x-1，

∵当率不存在时，AB=，x=0，不能构成三角形，∴不符合题意．

故直线AB的方程y=x-1，

解析

解：（1）：设椭圆的标准方程为=1，

∵一个焦点坐标是F1（0，-1），离心率为．

∴c=1，a=

∵a2=b2+c2

∴b=

∴=1，

（2）∵F1（0，-1），F2是椭圆的另一个焦点（0，1），A（x1，y1），B（x2，y2）

∴直线AB的方程y=kx-1①，k存在时

①代入=1化简得：（2k2+3）x2-4kx-4=0，

x1+x2=，x1x2=，

|AB|=，

∵F2到直线AB的距离为：

=××=，

k2=3，即k=，

∴直线AB的方程y=x-1，

∵当率不存在时，AB=，x=0，不能构成三角形，∴不符合题意．

故直线AB的方程y=x-1，

题型：单选题

单选题

设F1、F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，与直线y=b相切的⊙F2交椭圆于E，且E是直线EF1与⊙F2的切点，则椭圆的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：∵F1、F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，

与直线y=b相切的⊙F2交椭圆于E，且E是直线EF1与⊙F2的切点，

∴EF2=b，且EF1⊥EF2，

∵E在椭圆上，∴EF1+EF2=2a．

又∵F1F2=2c，∴F1F22=EF12+EF22，即4c2=（2a-b）2+b2．将c2=a2-b2代入得b=a．

e2===1-（）2=．

∴椭圆的离心率e=．

故选D．

题型：单选题

单选题

阿基米德“平衡法”的中心思想是：要算一个未知量（图形的体积或面积），先将它分成许多微小的量（如面分成线段，体积分成薄片等），再用另一组微小单元来进行比较．如图，已知抛物线y=x2，直线l：x-2y+4=0与抛物线交于A、C两点，弦AC的中点为D，过D作直线平行于抛物线的对称轴Oy，交抛物线于点B，则抛物线弓形ABCD的面积与△ABC的面积之比是（　　）

正确答案

解析

解：联立，得x2-2x-8=0，解得：xA=-2，xC=4．

则yA=1，yC=4．

又弦AC的中点为D，∴，则xB=1，．

∴．

B到直线l的距离d=．

∴．

弓形ABCD的面积为：=

==9．

∴抛物线弓形ABCD的面积与△ABC的面积之比是．

故选：B．

题型：单选题

单选题

椭圆C的两个焦点分别为F1（-1，0）和F2（1，0），若该椭圆C与直线x+y-3=0有公共点，则其离心率的最大值为（　　）

正确答案

解析

解：由题意，c=1，

∴，

∴a越小e越大，而椭圆与直线相切时，a最小

设椭圆为，把直线x+y-3=0代入，化简整理可得（2m-1）x2+6mx+10m-m2=0

由△=0，解得：m=5，

于是a=，

故选C．

题型：单选题

单选题

已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F的直线与该抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则+的最小值是（　　）

C12

D16

正确答案

解析

解：由题意得：焦点F为（1，0）

设直线AB的方程为x=my+1，与抛物线y2=4x联立得：

y2-4my-4=0

△=16m2+16＞0．

应用韦达定理：

y1+y2=4m，y1y2=-4

∴+==16m2+8≥8．

∴当且仅当m=0时，+的值最小，最小值为8．

故选B．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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