热门试卷

解：（1）由椭圆方程得半焦距=1．

∴椭圆焦点为F1（-1，0），F2（1，0）．

又抛物线C的焦点为，∴，解得p=2．∴抛物线C的方程：y2=4x．

∵点M（x1，y1）在抛物线C上，

∴，直线F1M的方程为．

代入抛物线C得，即．

∴         

∵F1M与抛物线C相切，∴△==0，∴x1=1．

∴M、N的坐标分别为（1，2）、（1，-2）．    

（2）直线AB的斜率为定值-1．

证明如下：设A，B．

则=，同理，

∵△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，∴kMA=-kMB．

即，

化为y1+y2+4=0得y1+y2=-4．

∴kAB====-1．

所以直线AB的斜率为定值-1．

（1）证明：由题意可得，

联立，得．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

．

则．

∴；

（2）设直线，与抛物线联立得y2-2pky+p2=0．

∴．

则．

（1）解：∵C的焦点在x轴上且长轴为4，

故可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），

∵点在椭圆C上，∴，

解得b2=1，

∴椭圆C的方程为．

（2）证明：设P（m，0）（-2≤m≤2），

∵直线l方向向量，

∴直线l的方程是，

联立⇒2x2-2mx+m2-4=0（*）

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个根，

∴x1+x2=m，，

∴==

=（定值）．

解：（I）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4，

∴=，2a，

∴a=3，c=2，b=1，

即椭圆C的方程为=1，

（II）不妨设AB的方程为x=ky+m．

由消去x得（k2+9）y2+2kmy+m2-9=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则有y1+y2=-，y1y2=①

因为以AB为直径的圆过点D，所以 •=0

由 =（x1-3，y1），=（x2-3，y2），得（x1-3）（x2-3）+y1y2=0．

将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，

得（k2+1）y1y2+k（m-3）（y1+y2）+（m-3）2=0．

将①代入上式，解得m=或m=3（舍）．

所以m=（此时直线AB经过定点D（，0），与椭圆有两个交点）．

所以S△ABC=S△ABC=|AB||y1-y2|= =．

设t=，0，则S△ABC=．

所以当t=时，S△ABC取得最大值．