直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M、F、O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）过F作斜率为的直线与抛物线交于A，B两点，求AB的长度．

正确答案

解：（Ⅰ）F抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F（0，），

设M（x0，）（x0＞0），Q（a，b），

由题意可知b=，则点Q到抛物线C的准线的距离为b+===，解得p=1，

于是抛物线C的方程为x2=2y．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为x2=2y，焦点F（0，），

则直线方程为：y=，代入抛物线方程整理得，4y2-6y+1=0，

则，

如右图所示：|AB|=|AF|+|BF|=（）+（）=（yA+yB）+p=+1=．

解析

解：（Ⅰ）F抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F（0，），

设M（x0，）（x0＞0），Q（a，b），

由题意可知b=，则点Q到抛物线C的准线的距离为b+===，解得p=1，

于是抛物线C的方程为x2=2y．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为x2=2y，焦点F（0，），

则直线方程为：y=，代入抛物线方程整理得，4y2-6y+1=0，

则，

如右图所示：|AB|=|AF|+|BF|=（）+（）=（yA+yB）+p=+1=．

题型：单选题

单选题

曲线（|x|≤2）与直线y=k（x-2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（　　）

B（，+∞）

正确答案

解析

解：曲线即 x2+（y-1）2=4，（y≥1），表示以A（0，1）为圆心，以2为半径的圆位于直线 y=1 上方的部分（包含圆与直线y=1 的交点C和 D），是一个半圆，如图：

直线y=k（x-2）+4过定点B（2，4），设半圆的切线BE的切点为E，则 BC的斜率为 KBC==．

设切线BE的斜率为k′，k′＞0，则切线BE的方程为 y-4=k′（x-2），根据圆心A到线BE距离等于半径得

2=，k′=，

由题意可得 k′＜k≤KBC，∴＜k≤，

故选 A．

题型：简答题

简答题

直线l与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，已知=（ax1，by1），=（ax2，by2），若⊥且椭圆的离心率，又椭圆经过点，O为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线l过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线l的斜率k的值；

（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率，椭圆经过点，∴…2分

∴a=2，b=1

∴椭圆的方程为…3分

（Ⅱ）依题意，设l的方程为

由，∴

显然△＞0，…5分

由已知=0得：==

解得…6分．

（Ⅲ）①当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=-y2，

∵=0，∴，

∵A在椭圆上，∴，∴，|y1|=

∴S==1；

②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+t，代入椭圆方程，可得（k2+4）x2+2ktx+t2-4=0

△=4k2t2-4（k2+4）（t2-4）＞0，x1+x2=，x1x2=

∵=0，∴4x1x2+y1y2=0，∴4x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0

∴2t2-k2=4

∴==1

综上，△AOB的面积是定值1．

解析

解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率，椭圆经过点，∴…2分

∴a=2，b=1

∴椭圆的方程为…3分

（Ⅱ）依题意，设l的方程为

由，∴

显然△＞0，…5分

由已知=0得：==

解得…6分．

（Ⅲ）①当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=-y2，

∵=0，∴，

∵A在椭圆上，∴，∴，|y1|=

∴S==1；

②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+t，代入椭圆方程，可得（k2+4）x2+2ktx+t2-4=0

△=4k2t2-4（k2+4）（t2-4）＞0，x1+x2=，x1x2=

∵=0，∴4x1x2+y1y2=0，∴4x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0

∴2t2-k2=4

∴==1

综上，△AOB的面积是定值1．

题型：简答题

简答题

已知椭圆C的焦点F1（-2，0）和F2（2，0），长轴长6．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设直线y=x+2交椭圆C于A，B两点，求线段AB的长．

正确答案

解：（1）∵椭圆C的焦点F1（-2，0）和F2（2，0），长轴长6，

∴椭圆的焦点在x轴上，c=2，a=3，

∴b=1，

∴椭圆C的标准方程为；

（2）直线y=x+2代入椭圆方程可得10x2+36x+27=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，

∴|AB|=•=

解析

解：（1）∵椭圆C的焦点F1（-2，0）和F2（2，0），长轴长6，

∴椭圆的焦点在x轴上，c=2，a=3，

∴b=1，

∴椭圆C的标准方程为；

（2）直线y=x+2代入椭圆方程可得10x2+36x+27=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，

∴|AB|=•=

题型：简答题

简答题

在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为A（0，-1），B（0，1），平面内两点G，M同时满足：

①G为△ABC的重心；

②M到△ABC三点A，B，C的距离相等；

③直线GM的倾斜角为．

（1）求证：顶点C在定椭圆E上，并求椭圆E的方程；

（2）设P，Q，R，N都在曲线E上，点，直线PQ与RN都过点F并且相互垂直，求四边形PRQN的面积S的最大值和最小值．

正确答案

解：（1）设C（x，y），

∵，

∴G为△ABC的重心，∴，

又∵M为△ABC的外心且M在x轴上，

∴，由MA=MC得，

整理得：．

（2）恰为的右焦点，

设PQ的斜率为k（k≠0），则PQ：，

由，得．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，

∴=，

∵RN⊥PQ，把k换成，得，

∴==，

∴，

当且仅当k=±1时，取等号，又当k不存在或者k=0时，S=2，

综上：，

∴．

解析

解：（1）设C（x，y），

∵，

∴G为△ABC的重心，∴，

又∵M为△ABC的外心且M在x轴上，

∴，由MA=MC得，

整理得：．

（2）恰为的右焦点，

设PQ的斜率为k（k≠0），则PQ：，

由，得．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，

∴=，

∵RN⊥PQ，把k换成，得，

∴==，

∴，

当且仅当k=±1时，取等号，又当k不存在或者k=0时，S=2，

综上：，

∴．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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