- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
抛物线y=ax2与直线y=kx+b（k≠0）交于A，B两点，且此两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴的交点的横坐标是x3，则恒有（ ）
正确答案
解析
解：
∴ax2=kx+b，整理得ax2-kx-b=0，
由题设条件知
∴x1x3+x2x3=（x1+x2）x3=
故选B．
已知椭圆
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．
正确答案
解：（Ⅰ）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为
所以
又椭圆的离心率为
所以a=3，
所以b=1，椭圆M的方程为
（Ⅱ）不妨设直线AB的方程x=ky+m．
由
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则有
因为以AB为直径的圆过点C，所以 
由 
得 （x1-3）（x2-3）+y1y2=0．…（7分）
将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，
得 （k2+1）y1y2+k（m-3）（y1+y2）+（m-3）2=0．
将 ①代入上式，解得 
所以
则有
设
所以当
解析
解：（Ⅰ）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为
所以
又椭圆的离心率为
所以a=3，
所以b=1，椭圆M的方程为
（Ⅱ）不妨设直线AB的方程x=ky+m．
由
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则有
因为以AB为直径的圆过点C，所以
由
得 （x1-3）（x2-3）+y1y2=0．…（7分）
将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，
得 （k2+1）y1y2+k（m-3）（y1+y2）+（m-3）2=0．
将 ①代入上式，解得
所以
则有
设
所以当
椭圆9x2+4y2=144内一点P（2，3），过P的弦恰好以P为中点，这条弦所在方程为（ ）
正确答案
解析
解：设以P（3，2）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），
∵P（3，2）为EF中点，
∴x1+x2=4，y1+y2=6，
把E（x1，y1），F（x2，y2）分别代入椭圆9x2+4y2=144，
得
∴9（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0，
∴36（x1-x2）+24（y1-y2）=0，
∴k=
∴以P（3，2）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y-3=-
整理，得3x+2y-12=0．
故选：C．
已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（ ）
A3
B4
C
D
正确答案
解析
解：设直线AB的方程为y=x+b，由
进而可求出AB的中点
又∵
代入可得，b=1，
∴x2+x-2=0，
由弦长公式可求出
故选：C．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）设点P是椭圆G在第一象限上的任一点，连接PF1，PF2，过P点作斜率为k的直线l，使得l与椭圆G有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，试证明
（Ⅲ）在第（Ⅱ）问的条件下，作F2Q⊥F2P，设F2Q交l于点Q，证明：当点P在椭圆上移动时，点Q在某定直线上．
正确答案
消去b可得，2a4-7a2+3=0，解得a2=3或a2=
求椭圆G的方程为C：
（Ⅱ）设直线l方程为y=kx+m，并设点P（x0，y0），
由
∵△=0⇒m2=2+3k2，…（6分）
x0=-
当k＞0时，m＜0，直线与椭圆相交，
∴k＜0，m＞0，m2=2+3k2⇒m=
由
∴k=
而k1=
（用导数求解也可，若直接用切线公式扣（4分），只得2分）
（ III）PF2的斜率为：
从而得直线F2Q的方程为：
消去y得方程（x0-3）（x-3）=0，因为x0≠3，∴x=3，
即点Q在直线x=3上．…（14分）
解析
消去b可得，2a4-7a2+3=0，解得a2=3或a2=
求椭圆G的方程为C：
（Ⅱ）设直线l方程为y=kx+m，并设点P（x0，y0），
由
∵△=0⇒m2=2+3k2，…（6分）
x0=-
当k＞0时，m＜0，直线与椭圆相交，
∴k＜0，m＞0，m2=2+3k2⇒m=
由
∴k=
而k1=
（用导数求解也可，若直接用切线公式扣（4分），只得2分）
（ III）PF2的斜率为：
从而得直线F2Q的方程为：
消去y得方程（x0-3）（x-3）=0，因为x0≠3，∴x=3，
即点Q在直线x=3上．…（14分）
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