热门试卷

解：（I）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），焦距为2c，

则由题意得 c=，，

∴a=2，b2=a2-c2=1，

∴椭圆C的标准方程为．   …（4分）

∴右顶点F的坐标为（1，0）．

设抛物线E的标准方程为y2=2px（p＞0），

∴，

∴抛物线E的标准方程为y2=4x． …（6分）

（Ⅱ）设l1的方程：y=k（x-1），l2的方程，A（x1，y1），B（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4），

由消去y得：k2x2-（2k2+4）x+k2=0，

∴x1+x2=2+，x1x2=1．

由消去y得：x2-（4k2+2）x+1=0，

∴x3+x4=4k2+2，x3x4=1，…（9分）

∴

=

=||•||+||•||

=|x1+1|•|x2+1|+|x3+1|•|x4+1|

=（x1x2+x1+x2+1）+（x3x4+x3+x4+1）

=8+≥8+=16．

当且仅当即k=±1时，有最小值16．…（13分）

解：（Ⅰ）∵|BC|=2|AC|，且BC经过O（0，0），

∴|OC|=|AC|．又，

∴，

∵，将及C点坐标代入椭圆方程得，

∴椭圆E的方程为：．

（Ⅱ）对于椭圆上两点P，Q，

∵∠PCQ的平分线总垂直于x轴，

∴PC与CQ所在直线关于直线对称，设直线PC的斜率为k，则直线CQ的斜率为-k，

∴直线PC的方程为，

即．①

直线CQ的方程为．②

将①代入，

得，③

∵在椭圆上，

∴是方程③的一个根．

∴，

∴，

同理可得，，

∴．

∵，

∴，

又，

∴，

∴kAB=kPQ，∴向量与向量共线．

解：（Ⅰ）∵e=，∴a=2c，b=，

设椭圆的方程为，

直线AB的方程为y=-，

由得x2-x+1-3c2=0，

由题意知△=1-4（1-3c2）=0，

∴c=，椭圆的方程为．

（Ⅱ）假设存在满足条件的点M，易知直线l的斜率不存在时，不合题意，

故设其斜率为k，则l的方程是y=k（x-m），

由，得（3+4k2）x2-8k2mx+4k2m2-3=0，

设R（x1，y1），S（x2，y2），则，

∵，∴PF⊥x轴，

∵∠RFP=∠SFP，∴kRF+kSP=0，

∴=

=

=0，

∴m=2．

∴m=2时，存在满足条件的点M（2，0）．

（I）解：圆M的圆心为（3，1），半径．…（2分）

由题意知A（0，1），F（c，0），

直线AF的方程为，即x+cy-c=0，…（4分）

由直线AF与圆M相切，得，

解得c2=2，a2=c2+1=3，

故椭圆C的方程为．…（6分）

（Ⅱ）证法一：由知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，

故可设直线AP的方程为y=kx+1，

直线AQ的方程为．

联立，整理得（1+3k2）x2+6kx=0，…（7分）

解得x=0或，故点P的坐标为，

同理，点Q的坐标为，…（9分）

∴直线l的斜率为，…（10分）

∴直线l的方程为，

即．…（11分）

所以直线l过定点．…（12分）

（Ⅱ）证法二：由，知AP⊥AQ，从而直线PQ与x轴不垂直，

故可设直线l的方程为y=kx+t（t≠1），

联立，整理得（1+3k2）x2+6ktx+3（t2-1）=0．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，（*）

由△=（6kt）2-4（1+3k2）×3（t2-1）＞0，得3k2＞t2-1．…（9分）

由，

得，

将（*）代入，得，…（11分）

所以直线l过定点．…（12分）