热门试卷

（1）解：由题意可知a=5，且，把a=5代入解得c=3，所以b2=a2-c2=16，

所以椭圆C的方程为．

由x2+y2-2tx-6t-10=0，得（x-t）2+y2=t2+6t+10，所以该圆的圆心在x轴上，

因点A在圆M外，且圆M上的点和点A的最大距离与最小距离之差为2，即圆的半径等于1，

所以t2+6t+10=1，解得t=-3，

所以圆M的方程为（x+3）2+y2=1；

（2）解：如图，

因为圆M的圆心位于椭圆的左焦点上，且圆在椭圆内部，

所以椭圆的左顶点到圆M的圆心距离最近，则点P位于椭圆左顶点时最小，且∠APB最大，则最小．当P位于椭圆右顶点时最大，且∠APB最小，则最大．

当P位于椭圆左顶点时，由图可知两条切线长为，两切线夹角为60°，余弦值为．当P位于椭圆右顶点时，由图可知两条切线长为，两切线夹角一半的正弦值为，两切线夹角余弦值为．

所以的最小值为=．最大值为．

所以的取值范围是；

（3）证明：因为xcosθ+（y-3）sinθ=1，所以点P（0，3）到M中每条直线的距离d=，

即M为圆C：x2+（y-3）2=1的全体切线组成的集合，所以直线系M中的任意一条直线l恒与定圆

C：x2+（y-3）2=1相切．

三边都在直线系M中的直线上的所有可能的等腰直角三角形的情况有三种，一种是三角形外切于圆，另外两种是

圆在三角形外部．

如图，

等腰直角三角形ABC的腰AB=2+，其面积S=；

等腰直角三角形ADE的腰AD=2-，其面积S=；

等腰直角三角形GHC的腰GC=，其面积S=．

解：（I）由题意可得2b=2，

∵a2=b2+c2∴

∴椭圆的方程为

（II）设PQ：y=k（x+4），P（x1，y1），Q（x2，y2），F（-1，0）

∵PF⊥QF∴（x1+1）（x2+1）+y1y2=0∴（x1+1）（x2+1）+k2 （x1+4）（x2+4）=0

∴（1+k2）x1x2+（1+4k2）（x1+x2）+（1+16k2）=0

联立，消去y得（3+4k2）x2+32k2x+64k2-12=0

∴x1x2=，x1+x2=

代入化简得8k2=1∴k=±．

∴直线PQ的方程为y=（x+4）或y=（x+4）．

（III）如图所示，

又|QN|=2|QF|，|PM|=2|PF|∴

又|FQ′|=|FQ|∴

再∴

又∠PP1F=∠Q′Q1F=90°

∴P、F、Q三点共线且点F在线段PQ′上，与反向．

∴=．

解：（1）因为e==，即c2=a2，即a2-b2=a2，则a2=2b2；

故椭圆方程为+=1．

由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限，

由解得A（b，b）；

又AB=4，所以OA=2，即b2+b2=20，解得b2=12；

故a=2，b=2；

（2）证明：由（1）知，椭圆E的方程为，

从而A（4，2），B（-4，-2）；

①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，

设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），

显然k1≠k2；，

所以kCB=-； 同理kDB=-，

于是直线AD的方程为y-2=k2（x-4），直线BC的方程为y+2=-（x+4）；

∴，

从而点N的坐标为；

用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为；

∴，

即直线MN的斜率为定值-1；

②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，

根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，

故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（4，-2）；

仍然设DA的斜率为k2，由①知kDB=-；

此时CA：x=4，DB：y+2=-=-（x+4），它们交点M（4，）；

BC：y=-2，AD：y-2=k2（x-4），它们交点N（，-2），

从而kMN=-1也成立；

由①②可知，直线MN的斜率为定值-1．