直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：的离心率，A1，A2分别是椭圆E的左、右两个顶点，圆A2的半径为a，过点A1作圆A2的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆E于点Q．

（1）求直线OP的方程；

（2）求的值；

（3）设a为常数，过点O作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点B、C，分别交圆A点M、N，记三角形OBC和三角形OMN的面积分别为S1，S2．求S1S2的最大值．

正确答案

解：（1）连结A2P，则A2P⊥A1P，且A2P=a，

又A1A2=2a，所以∠A1A2P=60°．

又A2P=A2O，所以△OPA2为正三角形，

所以∠POA2=60°，

所以直线OP的方程为．

（2）由（1）知，直线A2P的方程为①，A1P的方程为②，

联立①②解得．

因为，即，所以，，

故椭圆E的方程为．

由解得，

所以==．

（3）不妨设OM的方程为y=kx（k＞0），

联立方程组解得，

所以；

用代替上面的k，得．

同理可得，，．

所以．

因为，

当且仅当k=1时等号成立，

所以S1•S2的最大值为．

解析

解：（1）连结A2P，则A2P⊥A1P，且A2P=a，

又A1A2=2a，所以∠A1A2P=60°．

又A2P=A2O，所以△OPA2为正三角形，

所以∠POA2=60°，

所以直线OP的方程为．

（2）由（1）知，直线A2P的方程为①，A1P的方程为②，

联立①②解得．

因为，即，所以，，

故椭圆E的方程为．

由解得，

所以==．

（3）不妨设OM的方程为y=kx（k＞0），

联立方程组解得，

所以；

用代替上面的k，得．

同理可得，，．

所以．

因为，

当且仅当k=1时等号成立，

所以S1•S2的最大值为．

题型：简答题

简答题

已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，2），B（1，3），C（2，5），l为BC边上的高所在直线．

（1）求直线l的方程；

（2）直线l与椭圆相交于D、E两点，△CDE是以C（2，5）为直角顶点的等腰直角三角形，求该椭圆的方程．

正确答案

解：（1）kBC=2，因为l为BC边上的高所在直线，∴l⊥BC，∴kl•kBC=-1，解得，

直线l的方程为：y-2=（x-3），即：x+2y-7=0

（2）过C作CF⊥DE，依题意，知F为DE中点，直线CF可求得为：2x-y+1=0．

联立两直线方程可求得：F（1，3），

由椭圆方程与直线ED联立方程组，

可得：（a2+4b2）y2-28b2y+49b2-a2b2=0，化为，

又CF=，所以，|DE|=2=2，即=2，

所以，=4，即36-4=4，解得：，

所以，所求方程为：

解析

解：（1）kBC=2，因为l为BC边上的高所在直线，∴l⊥BC，∴kl•kBC=-1，解得，

直线l的方程为：y-2=（x-3），即：x+2y-7=0

（2）过C作CF⊥DE，依题意，知F为DE中点，直线CF可求得为：2x-y+1=0．

联立两直线方程可求得：F（1，3），

由椭圆方程与直线ED联立方程组，

可得：（a2+4b2）y2-28b2y+49b2-a2b2=0，化为，

又CF=，所以，|DE|=2=2，即=2，

所以，=4，即36-4=4，解得：，

所以，所求方程为：

题型：简答题

简答题

在直角坐标系xoy中，点P到两点F（-，0），F2（，0）的距离之和等于4，设P点的轨迹为曲线C，过点M（1，0）的直线l与曲线C交于A、B两点．

（1）求曲线C的方程；

（2）求•的取值范围．

正确答案

解：（1）由题意知曲线C为以F1（-，0），F2（，0）为焦点的椭圆，

且c=，a=2，∴b2=1，

∴曲线C的方程为：…（4分）

（2）1°当l的斜率为0时，•=-4…（6分）

2°当l的斜率不存在时，直线方程为x=1，此时A点、B点坐标为（1，），（1，-）

故…（8分）

3°当l的斜率存在且不为0时，设l：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）联立，得（m2+4）y2+2my-3=0∴，

=（my1+1）（my2+1）+y1y2=m2y1y2+m（y1+y2）+1+y1y2

=（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1=

=-4+ …（11分）

综上可知的取值范围为[-4，]…（12分）

解析

解：（1）由题意知曲线C为以F1（-，0），F2（，0）为焦点的椭圆，

且c=，a=2，∴b2=1，

∴曲线C的方程为：…（4分）

（2）1°当l的斜率为0时，•=-4…（6分）

2°当l的斜率不存在时，直线方程为x=1，此时A点、B点坐标为（1，），（1，-）

故…（8分）

3°当l的斜率存在且不为0时，设l：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）联立，得（m2+4）y2+2my-3=0∴，

=（my1+1）（my2+1）+y1y2=m2y1y2+m（y1+y2）+1+y1y2

=（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1=

=-4+ …（11分）

综上可知的取值范围为[-4，]…（12分）

题型：填空题

填空题

（理科）过抛物线x2=4y的焦点作直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=______．

正确答案

-4

解析

解：抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1），

设过抛物线x2=4y的焦点的直线l的方程为y=kx+1，代入抛物线x2=4y可得x2=4（kx+1）

即x2-4kx-4=0

∵过抛物线x2=4y的焦点作直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），

∴x1x2=-4

故答案为：-4

题型：简答题

简答题

如图，设F是椭圆：（a＞b＞0）的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A，B，求证：∠AFM=∠BFN；

（3）（理）求三角形ABF面积的最大值．

正确答案

解：（1）∵线段MN为椭圆的长轴，且|MN|=8，∴a=4

∵|PM|=2|MF|，

∴-a=2（a-c）

∴a2-ac=2ac-2c2，

∴2e2-3e+1=0，

解得e=或e=1（舍去）

∴c=2，b2=a2-c2=12，

∴椭圆的标准方程为=1．

（2）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFM=0，满足题意．

当AB方程为x=my-8，代入椭圆方程整理得

（3m2+4）y2-48my+144=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，，

∴KAF+KBF=

==0

∴KAF+KBF=0，从而∠AFM=∠BFN 综上可知，恒有∠AFM=∠BFN．

（3）（理）∵P（-8，0），F（-2，0），∴|PF|=6，

∴|y2-y1|=

=，

∴S△ABF=S△PBF-S△PAF

≤

当且仅当3

即m2=（此时适合△＞0的条件）时取等号

∴三角形ABF面积的最大值是3．

解析

解：（1）∵线段MN为椭圆的长轴，且|MN|=8，∴a=4

∵|PM|=2|MF|，

∴-a=2（a-c）

∴a2-ac=2ac-2c2，

∴2e2-3e+1=0，

解得e=或e=1（舍去）

∴c=2，b2=a2-c2=12，

∴椭圆的标准方程为=1．

（2）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFM=0，满足题意．

当AB方程为x=my-8，代入椭圆方程整理得

（3m2+4）y2-48my+144=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，，

∴KAF+KBF=

==0

∴KAF+KBF=0，从而∠AFM=∠BFN 综上可知，恒有∠AFM=∠BFN．

（3）（理）∵P（-8，0），F（-2，0），∴|PF|=6，

∴|y2-y1|=

=，

∴S△ABF=S△PBF-S△PAF

≤

当且仅当3

即m2=（此时适合△＞0的条件）时取等号

∴三角形ABF面积的最大值是3．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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