直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

已知椭圆C的两焦点分别为F1（-2，0）、F2（2，0），长轴长为6，

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的长度．

正确答案

解：（1）由，长轴长为6

得：所以b=1

∴椭圆方程为…（5分）

（2）设，由（1）可知椭圆方程为①，

∵直线AB的方程为y=x+2②…（7分）

把②代入①得化简并整理得10x2+36x+27=0

∴…（10分）

又…（12分）

解析

解：（1）由，长轴长为6

得：所以b=1

∴椭圆方程为…（5分）

（2）设，由（1）可知椭圆方程为①，

∵直线AB的方程为y=x+2②…（7分）

把②代入①得化简并整理得10x2+36x+27=0

∴…（10分）

又…（12分）

题型：简答题

简答题

若F1F2为双曲线-=1的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支上，M在右准线上，且满足=，=

（1）求此双曲线的离心率；

（2）若此双曲线过点N（2，），求双曲线方程；

（3）设（2）中双曲线的虚轴端点为B1，B2（B1在y轴正半轴上），求B2作直线AB与双曲线交于A B两点，求⊥时，直线AB的方程．

正确答案

解：（1）由知四边形PF1OM为平行四边形，

又由

知OP平分∠F1OM，∴PF1OM为菱形，

设半焦距为c，由=c 知=c，

，∴，

又，即

e2-e-2=0，∴e=2（e=-1舍去）（4分）

（2）∵e=2=∴c=2a，∴双曲线方程为，

将点（2，）代入，有，

∴a2=3．

即所求双曲线方程为．（8分）

（3）依题意得B1（0，3），B2（0，-3）

设直线AB的方程为y=kx-3，A（x1，y1）B（x2，y2）．

则由．

∵双曲线的渐近线为y=±x，∴k=±时，AB与双曲线只有一个交点，

即k≠±∵x1+x2=-，x1•x2=．

y1+y2=k（x1+x2）-6=，y1y2=k2x1x2-k（x1+x2）+9=9

又=（x1，y1-3），=（x2，y2-3），

⇒x1x2+y1y2-3（y1+y2）+9=0，

∴，即k2=5∴k=±．

故所求直线AB的方程为y=x-3或y=-x-3．（14分）

解析

解：（1）由知四边形PF1OM为平行四边形，

又由

知OP平分∠F1OM，∴PF1OM为菱形，

设半焦距为c，由=c 知=c，

，∴，

又，即

e2-e-2=0，∴e=2（e=-1舍去）（4分）

（2）∵e=2=∴c=2a，∴双曲线方程为，

将点（2，）代入，有，

∴a2=3．

即所求双曲线方程为．（8分）

（3）依题意得B1（0，3），B2（0，-3）

设直线AB的方程为y=kx-3，A（x1，y1）B（x2，y2）．

则由．

∵双曲线的渐近线为y=±x，∴k=±时，AB与双曲线只有一个交点，

即k≠±∵x1+x2=-，x1•x2=．

y1+y2=k（x1+x2）-6=，y1y2=k2x1x2-k（x1+x2）+9=9

又=（x1，y1-3），=（x2，y2-3），

⇒x1x2+y1y2-3（y1+y2）+9=0，

∴，即k2=5∴k=±．

故所求直线AB的方程为y=x-3或y=-x-3．（14分）

题型：填空题

填空题

已知点B（-3，0），C（3，0），直线AB，AC的斜率乘积为a，若动点A的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是______．

正确答案

（-1，0）

解析

解：由题意，设A（x，y），则，即

∵动点A的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，

∴0＜-9a＜9，∴-1＜a＜0，

故答案为（-1，0）．

题型：简答题

简答题

已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x-2于M、N两点，求|MN|的最小值．

正确答案

解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，

由消去y，整理得x2-4kx-4=0，

所以x1+x2=4k，x1x2=-4，从而有|x1-x2|==4，

由解得点M的横坐标为xM===，

同理可得点N的横坐标为xN=，

所以|MN|=|xM-xN|=|-|=8||=，

令4k-3=t，t≠0，则k=，

当t＞0时，|MN|=2＞2，

当t＜0时，|MN|=2=2≥．

综上所述，当t=-，即k=-时，|MN|的最小值是．

解析

解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，

由消去y，整理得x2-4kx-4=0，

所以x1+x2=4k，x1x2=-4，从而有|x1-x2|==4，

由解得点M的横坐标为xM===，

同理可得点N的横坐标为xN=，

所以|MN|=|xM-xN|=|-|=8||=，

令4k-3=t，t≠0，则k=，

当t＞0时，|MN|=2＞2，

当t＜0时，|MN|=2=2≥．

综上所述，当t=-，即k=-时，|MN|的最小值是．

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系中，点P到两点的距离之和等于4，动点P的轨迹为曲线．

（1）求曲线C的方程；

（2）设直线y=kx+l与曲线C交于A，B两点，当OA⊥OB时，（O为坐标原点），求k的值．

正确答案

解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，

点P的轨迹C是以F1（0，-），F2（0，）为焦点，长半轴为2的椭圆，

则它的短半轴b=，

∴曲线C的方程为；

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，消去y并整理得（4+k2）x2+2kx-3=0，

故．

y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1

==．

∵OA⊥OB，

∴．

则，

解得：k=．

解析

解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，

点P的轨迹C是以F1（0，-），F2（0，）为焦点，长半轴为2的椭圆，

则它的短半轴b=，

∴曲线C的方程为；

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，消去y并整理得（4+k2）x2+2kx-3=0，

故．

y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1

==．

∵OA⊥OB，

∴．

则，

解得：k=．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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