- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
已知椭圆M：x2+2y2=2．
（Ⅰ）求M的离心率及长轴长；
（Ⅱ）设过椭圆M的上顶点A的直线l与椭圆M的另一个交点为B，线段AB的垂直平分线交椭圆M于C，D两点．问：是否存在直线l使得C，O，D三点共线（O为坐标原点）？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，说明理由．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意可知椭圆M的标准方程为：
∴c=
∴
（II）若C，O，D三点共线，CD是线段AB的垂直平分线，
可得|OA|=|OB|．由（I）可得：A（0，1），设B（x0，y0），∴
又
当取点B（0，-1）时，直线l的方程为x=0，满足条件．
∴存在直线l使得C，O，D三点共线（O为坐标原点），直线l的方程为：x=0．
解析
解：（Ⅰ）由题意可知椭圆M的标准方程为：
∴c=
∴
（II）若C，O，D三点共线，CD是线段AB的垂直平分线，
可得|OA|=|OB|．由（I）可得：A（0，1），设B（x0，y0），∴
又
当取点B（0，-1）时，直线l的方程为x=0，满足条件．
∴存在直线l使得C，O，D三点共线（O为坐标原点），直线l的方程为：x=0．
已知Rt△ABC的三个顶点都在抛物线y2=2px（p＞0）上，且斜边AB∥y轴，则斜边上的高等于______．
正确答案
2p
解析
解：由题意，斜边平行y轴，即垂直对称轴x轴，
所以Rt△ABC是等腰直角三角形，
所以斜边上的高CD是AB的一半，
假设斜边是x=a，则有A（
代入y2=2px得a=4p，
所以CD=
故答案为：2p．
已知椭圆C：
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线x=my+2与椭圆C交于A、B两点，E（-
正确答案
解：（1）∵e=
又∵b=
∴椭圆方程为：
（2）将直线的方程x=my+2代入
∴△=64-8（2+m2）（4-m2）=8m2（m2-2）＞0，即m2＞2．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
∴|AB|=
=
设E到直线AB的距离为d，则d=
∴S=
由题意：0＜
∴m 的取值范围是[-2，-
解析
解：（1）∵e=
又∵b=
∴椭圆方程为：
（2）将直线的方程x=my+2代入
∴△=64-8（2+m2）（4-m2）=8m2（m2-2）＞0，即m2＞2．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
∴|AB|=
=
设E到直线AB的距离为d，则d=
∴S=
由题意：0＜
∴m 的取值范围是[-2，-
（Ⅰ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设动圆C2：
正确答案
（Ⅰ）解：设A（x1，y1），B（x1，-y1），
∵A1（-a，0），A2（a，0），则直线A1A的方程为
直线A2B的方程为y=-
由①×②可得：
∵A（x1，y1）在椭圆C0上，
∴
∴
代入③可得：
∴
（Ⅱ）证明：设A′（x3，y3），
∵矩形ABCD与矩形A‘B'C'D'的面积相等
∴4|x1||y1|=4|x3||y3|
∴
∵A，A′均在椭圆上，
∴
∴
∴
∵t1≠t2，∴x1≠x3．
∴
∵
∴
∴
解析
（Ⅰ）解：设A（x1，y1），B（x1，-y1），
∵A1（-a，0），A2（a，0），则直线A1A的方程为
直线A2B的方程为y=-
由①×②可得：
∵A（x1，y1）在椭圆C0上，
∴
∴
代入③可得：
∴
（Ⅱ）证明：设A′（x3，y3），
∵矩形ABCD与矩形A‘B'C'D'的面积相等
∴4|x1||y1|=4|x3||y3|
∴
∵A，A′均在椭圆上，
∴
∴
∴
∵t1≠t2，∴x1≠x3．
∴
∵
∴
∴
抛物线y2=4x上一动点P到直线l1：4x-3y+6=0和l2：x=-1的距离之和的最小值是（ ）
A2
B3
C
D
正确答案
解析
解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=-1的距离d2=a2+1；
P到直线l1：4x-3y+6=0的距离d1=
所以d1+d2=a2+1
当a=
故选A．
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