热门试卷

解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C上一点与两个焦点F1，F2构成的三角形的周长为2+2，

∴=，2a+2c=2+2，

∴a=，c=1，

∴b==1，

∴椭圆C的方程为；

（Ⅱ）过右焦点F2作直线l，方程为y=k（x-1），

代入椭圆方程，消去y可得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，

∵=λ，

∴y1=λy2，

∵y1+y2=-，y1y2=-，

∴λ++2=-

令y=λ+（-2≤λ＜-1），则y′=1-，

∴y=λ+在[-2，-1）上单调递增，

∴-≤λ+＜-2，

∴-λ++2＜0，

∴-≤-＜0，

解得k2≥，

•=（x1，+1，y1），B（x2，+1，y2）=x1x2+x1+x2+1+y1y2=-，

∵k2≥，

∴0＜≤，

∴≤-＜，

∴•的取值范围为[，）．

解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，

∴=，∴a2=b2，

∵椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切．

∴b==，

∴a2=4，b2=3

∴椭圆的方程为；

（Ⅱ）①斜率不存在时，方程为x=1，

代入椭圆方程可得y=±，

∴|AB|=3，|CD|=2a=4，

∴四边形ABCD面积为=6；

斜率不为0时，方程为y=k（x-1），

代入椭圆方程可得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，

∴|AB|=|x1-x2|=，

同理|CD|=，

∴+=+=≥2，

∴|AB||CD|≥，

∴SABCD=|AB||CD|≥×=，

∵＜6，

∴四边形ABCD面积的最小值为；

②l1的斜率存在时，则直线l2的方程为y=-（x-1）．

令x=4，则P（4，-），

∴kPA+kPB=+=++×=-=2kPF．

l1的斜率不存在时，由对称性知，kPA+kPB=2kPF．

∴直线PA，PF，PB的斜率kPA，kPF，kPB成等差数列．

解：（Ⅰ）由题意，设抛物线C的标准方程为y2=2px（x＞0），焦点F（，0），

∵椭圆的右焦点为（1，0），

∴，即p=2，

∴抛物线方程为：y2=4x，…（4分）

（Ⅱ）（ⅰ）设直线AB：my=x-a．

联立，消x得=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=-4a，，…（6分）

由S△AOB=

=，

∴，

∵，…（8分）

∴，

∴当a=2时，t有最小值一2．…（10分）

（ⅱ）由（ⅰ）可知D（x1，-y1），y1+y2=4m，y1y2=4，

直线BD的方程为y-y2=，

即

y=

∴y=，

∴直线BD过定点（1，0）．…（14分）

解：（Ⅰ）由题意，

x2=4y可化为y=x2，

故y′=x，

令y′=x=1，解得，x=2，

故切点A坐标为（2，1），

故由1=2+b得，b=-1；

（Ⅱ）抛物线C的准线为y=-1，

则点A到抛物线C的准线的距离为2．