热门试卷

解：设椭圆方程为：（a＞b＞0），

由及a2=b2+c2得a2=3b2，

故椭圆方程为x2+3y2=3b2①

（1）∵直线L：y=k（x+1）交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，

并且（λ≥2）

∴（x1+1，y1）=λ（-1-x2，-y2），

即②

把y=k（x+1）代入椭圆方程，

得：（3k2+1）x2+6k2x+3k2-3b2=0，且△=k2（3b2-1）+b2＞0，

∴③④

∴

联立②、③得：

∴

（2）

当且仅当即时，S△OAB取得最大值．

此时x1+x2=-1，

又∵x1+1=-λ（x2+1），

∴，代入④得：

故此时椭圆的方程为

（3）由②．③联立得：，，将x1．x2代入④得：，

由k2=λ-1

得：

易知：当λ≥2时，3b2是λ的减函数，

故当λ=2时，（3b2）max=3．

故当λ=2，

k=±1时，椭圆短半轴长取得最大值，此时椭圆方程为x2+3y2=3．

解：（1）∵椭圆C焦点在x轴上，其长轴长为4，离心率为，

∴．解得a=2，b=1，∴

显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）．（5分）

由得（1+4k2）x2+16kx+12=0．∵△=（16k）2-4×12（1+4k2）＞0，

∴

又

由．∴．

所以=∴-2＜k＜2．

由此得：．

（2）由椭圆的对称性可知PQSR是菱形，原点O到各边的距离相等．

当P在y轴上，Q在x轴上时，直线PQ的方程为，由d=1得，

当P不在y轴上时，设直线PS的斜率为k，P（x1，kx1），则直线RQ的斜率为，

由，得（1），同理

在Rt△OPQ中，由，即|PQ|2=|OP|2•|OQ|2

所以，化简得，

分，

即．

综上，d=1时a，b满足条件

解：（Ⅰ）由题设双曲线的标准方程为，

由已知得：，2b=2，又a2+b2=c2，解得a=2，b=1，

∴双曲线的标准方程为．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1-4k2）x2-8mkx-4（m2+1）=0，

有，

，

以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（-2，0），

∴kADkBD=-1，即，

∴y1y2+x1x2+2（x1+x2）+4=0，

∴，

∴3m2-16mk+20k2=0．

解得m=2k或m=．

当m=2k时，l的方程为y=k（x+2），直线过定点（-2，0），过双曲线的左顶点，与已知矛盾；

当m=时，l的方程为y=k（x+），直线过定点（-，0），经检验符合已知条件．

故直线l过定点，定点坐标为（-，0）．

解：（I）设切点

　由，知抛物线在Q点处的切线斜率为，

故所求切线方程为

即

因为点P（0，-4）在切线上

所以，x02=16，x0=±4

所求切线方程为y=±2x-4

（II）设A（x1，y1），C（x2，y2）

由题意知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k＞0

因直线AC过焦点F（0，1），所以直线AC的方程为y=kx+1

点A，C的坐标满足方程组

得x2-4kx-4=0，

由根与系数的关系知

因为AC⊥BD，所以BD的斜率为，从而BD的方程为

同理可求得

当k=1时，等号成立．　

所以，四边形ABCD面积的最小值为32．