热门试卷

解：（Ⅰ）依题意，得=，b=1，

因为a2-c2=b2，

所以a2=4，

故椭圆C的方程为+y2=1；…（4分）

（Ⅱ）设P（x0，y0）（x0≠0），则Q（0，y0），

+=1；

因为M为线段PQ的中点，所以M（，y0），

又A（0，1），所以直线AM的方程为y=x+1，

令y=-1，得D（，-1），

又B（0，-1），N为线段BD的中点，所以N（，-1），

所以=（-，-1-y0），

所以•=（-）+y0（-1-y0）

=•-y0-（+）

=（1-）•-y0-1

=0，

所以⊥，

即MN⊥OM．…（12分）

解：（I）∵圆（x-1）2+y2=1的圆心是（1，0），

∴椭圆的右焦点F（1，0），

∵椭圆的离心率是，∴

∴a2=2，b2=1，∴椭圆的方程是．

（II）设P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），

由得，∴．

直线PM的方程：，

化简得（y0-m）x-x0y+x0m=0．

又圆心（1，0）到直线PM的距离为1，

∴，

∴（y0-m）2+x02=（y0-m）2+2x0m（y0-m）+x02m2，

化简得（x0-2）m2+2y0m-x0=0，

同理有（x0-2）n2+2y0n-x0=0．

∴，，

∴=．

∵P（x0，y0）是椭圆上的点，∴，

∴，

记，则，时，

f‘（x）＜0；时，f'（x）＜0，

∴f（x）在上单调递减，在内也是单调递减，

∴，

当时，|MN|取得最大值，

此时点P位置是椭圆的左顶点．