直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：填空题

填空题

曲线C是平面内与两个定点F1（-2，0）和F2（2，0）的斜率之积为的点的轨迹，P为曲线C上的点．给出下列四个结论：

①直线y=k（x+2）与曲线C一定有交点；

②曲线C关于原点对称；

③|PF1|-|PF2|为定值；

④△PF1F2的面积最大值为．其中正确结论的序号是______．

正确答案

②

解析

解：由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的斜率公式的得：

∵动点P与定点F1（-2，0）和F2（2，0）的斜率之积为，

∴kPF1×kPF2=

∴=，即，

又x=±2时，必有一个斜率不存在，故x≠±2

综上点P的轨迹方程为（x≠±2）

对于①，当k=0时，直线y=k（x+2）与曲线C没有交点，所以①错；

对于②，把方程中的x被-x代换，y被-y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称．②正确；

对于③，根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=±2a═±4，其绝对值为定值，

但|PF1|-|PF2|不是定值，故③错；

对于④，由题意知点P在双曲线C上，则△F1PF2的面积，

由于双曲线上点P的纵坐标y没有最大值，所以④不正确．

故答案为：②．

题型：单选题

单选题

设k＜3，k≠0，则二次曲线与必有（　　）

A不同的顶点

B不同的准线

C相同的焦点

D相同的离心率

正确答案

解析

解：当0＜k＜3，则0＜3-k＜3，

∴表实轴为x轴的双曲线，a2+b2=3=c2．

∴二曲线有相同焦点；

当k＜0时，-k＞0，且3-k＞-k，

∴表焦点在x轴上的椭圆．a2=3-k，b2=-k．

∴a2-b2=3=c2与已知椭圆有相同焦点．

故选C．

题型：单选题

单选题

观察下面的圆锥曲线，其中离心率最小的是（　　）

正确答案

解析

解：因为抛物线的离心率为1，双曲线的离心率大于1，椭圆的离心率小于1，所以排除选项C，D．

又因为椭圆的离心率越大，椭圆越扁，

所以A中的离心率大于B中的离心率．

故选B．

题型：填空题

填空题

若双曲线mx2-ny2=1（mn≠0）离心率为，且有一个焦点与抛物线y2=2x的焦点重合，则m=______．

正确答案

解析

解：由题意，抛物线y2=2x的焦点坐标为，双曲线mx2-ny2=1可化为：

∴

∵双曲线mx2-ny2=1（mn≠0）离心率为，

∴

∴m=n

∵双曲线mx2-ny2=1（mn≠0）有一个焦点与抛物线y2=2x的焦点重合

∴

∴m=8

故答案为：8

题型：简答题

简答题

已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足|PM|-|PN|=2．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过N的直线交C于A、B两点，若|AB|=，求直线AB的方程．

正确答案

解：（1）∵点M（-2，0），N（2，0），动点P满足|PM|-|PN|=2．

∴动点P的轨迹C是双曲线的右支，

其方程为（x＞0）．

（2）当直线AB的斜率不存在时，联立解得x=2，y=，取A，B．

则|AB|=2，不符合题意，舍去．

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y=k（x-2）．

联立，

化为（1-k2）x2+4k2x-4k2-2=0，

△＞0．

∴，x1x2=．

∴|AB|===，

化为 3（1+k2）=±5（1-k2），

化为，k2=4．

解得，k=±2．满足△＞0．

∴直线AB的方程为y=（x-2）或y=±2（x-2）．

解析

解：（1）∵点M（-2，0），N（2，0），动点P满足|PM|-|PN|=2．

∴动点P的轨迹C是双曲线的右支，

其方程为（x＞0）．

（2）当直线AB的斜率不存在时，联立解得x=2，y=，取A，B．

则|AB|=2，不符合题意，舍去．

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y=k（x-2）．

联立，

化为（1-k2）x2+4k2x-4k2-2=0，

△＞0．

∴，x1x2=．

∴|AB|===，

化为 3（1+k2）=±5（1-k2），

化为，k2=4．

解得，k=±2．满足△＞0．

∴直线AB的方程为y=（x-2）或y=±2（x-2）．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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