- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
若θ是任意实数，则方程x2+4y2sinθ=1所表示的曲线一定不是（ ）
正确答案
解析
解：方程x2+4y2sinθ=1，
当sinθ=
当sinθ＜0时，曲线表示双曲线；
当sinθ=0时，曲线表示直线，
θ是任意实数，方程x2+4y2sinθ=1，都不含有y的一次项，曲线不表示抛物线．
故选D．
等轴双曲线C与椭圆
正确答案
解析
解：设双曲线的方程为
∵等轴双曲线C与椭圆
∴a2+a2=22=4，所以a2=2．
所以双曲线C的方程为
故答案为：
（1）设AP所在的直线的斜率为k1，BP所在的直线的斜率为k2，试求k1•k2的值（用a，b表示）；
（2）设椭圆的离心率为
①求MN的最小值；
②记以MN为直径的圆为圆C，随着点P的变化，圆C是否恒过定点，若过定点，求出该定点，如不过定足，请说明理由．
正确答案
解：（1）∵椭圆方程为
椭圆上点P为（x0，y0），则
∴
∴
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），
由题意知
即a2-c2=1，联立方程解得a=2；
∴椭圆的方程为
①由（1）知kBM•kAN=kPB•kAN=-
∵kBM•kAN=
∴x1x2=-12；
此时不妨设x1＜0，
此时MN=|x1-x2|=x2-x1=x2+
当且仅当x2=-x1=2
∴MN的最小值是4
②以MN为直径的圆的方程为（x-x1）（x-x2）+（y+2）2=0，
由图形的对称性知，如果以MN为直径的圆过定点，则定点在y轴上，
此时令（x-x1）（x-x2）+（y+2）2=0中x=0，
得（y+2）2=-x1x2=12，∴y=-2±2
即以MN为直径的圆是圆C，随着点P的变化，圆C恒过定点（0，-2±2
解析
解：（1）∵椭圆方程为
椭圆上点P为（x0，y0），则
∴
∴
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），
由题意知
即a2-c2=1，联立方程解得a=2；
∴椭圆的方程为
①由（1）知kBM•kAN=kPB•kAN=-
∵kBM•kAN=
∴x1x2=-12；
此时不妨设x1＜0，
此时MN=|x1-x2|=x2-x1=x2+
当且仅当x2=-x1=2
∴MN的最小值是4
②以MN为直径的圆的方程为（x-x1）（x-x2）+（y+2）2=0，
由图形的对称性知，如果以MN为直径的圆过定点，则定点在y轴上，
此时令（x-x1）（x-x2）+（y+2）2=0中x=0，
得（y+2）2=-x1x2=12，∴y=-2±2
即以MN为直径的圆是圆C，随着点P的变化，圆C恒过定点（0，-2±2
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若直线l与双曲线交于P、Q两点，且
正确答案
解：（Ⅰ）∵双曲线的离心率e=2，点M（
∴
∵c2=a2+b2
∴a2=4，b2=12
∴双曲线的方程为
（Ⅱ）设OP直线方程为y=kx，OQ直线方程为y=-
y=kx代入双曲线方程，可得
∴
∴
同理，
∴
解析
解：（Ⅰ）∵双曲线的离心率e=2，点M（
∴
∵c2=a2+b2
∴a2=4，b2=12
∴双曲线的方程为
（Ⅱ）设OP直线方程为y=kx，OQ直线方程为y=-
y=kx代入双曲线方程，可得
∴
∴
同理，
∴
过椭圆
正确答案
4x+9y-13=0
解析
解：因为
所以P为AB的中点，
设A（x1，y1），B（x2，y2）则有
相减得
所以
所以直线的斜率为
所以直线AB的方程为4x+9y-13=0．
故答案为4x+9y-13=0
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