直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：填空题

填空题

若直线y=x+t与抛物线y2=4x交于两个不同的点A、B，且弦AB中点的横坐标为3，则t=______．

正确答案

-1

解析

解：设A（x1，y1），B（x1，y2），线段AB的中点为M（3，m），

把A，B的坐标代入抛物线方程得，，

两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2），得2m×1=4，解得m=2．

∴2=3+t，解得t=-1．

故答案为-1．

题型：简答题

简答题

已知双曲线，

（1）求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E的方程．

（2）点P在椭圆E上，点C（2，1）关于坐标原点的对称点为D，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由．

（3）平行于CD的直线l交椭圆E于M、N两点，求△CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．

正确答案

解：（1）∵双曲线的顶点为（±，0），焦点为（，0），

设以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E的方程为，a＞b＞0，

则a2=6+2=8，c2=6，

∴椭圆E的方程为．…（3分）

（2）依题意得D点的坐标为（-2，-1），

且D点在椭圆E上，直线CP和DP的斜率KCP和KDP均存在，设P（x，y），

则，，

∴=，…（5分）

∵点Q在椭圆E上，∴x2=8-4y2，kCP•kDP==-．

∴直线CP和DP的斜率之积为定值-．…（7分）

（3）∵直线CD的斜率为，CD平行于直线l，

设直线l的方程为y=，

由，消去y，整理得x2+2tx+2t2-4=0，

△=4t2-4（2t2-4）＞0，解得t2＜4，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则x1+x2=-2tx1•x2=2t2-4．…（10分）

∴|MN|=

=，-2＜t＜2．…（11分）

点C到直线MN的距离为d==，…（12分）

∴

=|t|•

=≤==2．

当且仅当t2=4-t2，即t2=2时，取等号．…（13分）

∴△CMN面积的最大值为2，此时直线l的方程为y=．…（14分）

解析

解：（1）∵双曲线的顶点为（±，0），焦点为（，0），

设以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E的方程为，a＞b＞0，

则a2=6+2=8，c2=6，

∴椭圆E的方程为．…（3分）

（2）依题意得D点的坐标为（-2，-1），

且D点在椭圆E上，直线CP和DP的斜率KCP和KDP均存在，设P（x，y），

则，，

∴=，…（5分）

∵点Q在椭圆E上，∴x2=8-4y2，kCP•kDP==-．

∴直线CP和DP的斜率之积为定值-．…（7分）

（3）∵直线CD的斜率为，CD平行于直线l，

设直线l的方程为y=，

由，消去y，整理得x2+2tx+2t2-4=0，

△=4t2-4（2t2-4）＞0，解得t2＜4，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则x1+x2=-2tx1•x2=2t2-4．…（10分）

∴|MN|=

=，-2＜t＜2．…（11分）

点C到直线MN的距离为d==，…（12分）

∴

=|t|•

=≤==2．

当且仅当t2=4-t2，即t2=2时，取等号．…（13分）

∴△CMN面积的最大值为2，此时直线l的方程为y=．…（14分）

题型：简答题

简答题

已知直线l1：x=my与抛物线C：y2=4x交于O（坐标原点），A两点，直线l2：x=my+m与抛物线C交于B，D两点．

（Ⅰ）若|BD|=2|OA|，求实数m的值；

（Ⅱ）过A，B，D分别作y轴的垂线，垂足分别为A1，B1，D1．记S1，S2分别为三角形OAA1和四边形BB1D1D的面积，求的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）设B（x1，y1），D（x2，y2），

由，

可得y2-4my-4m=0，

由△＞0，得m＜-1或m＞0，

且y1+y2=4m，y1y2=-4m；

又因为，

可得y2-4my=0，所以y=0或4m，

故A （4m2，4m），

由|BD|=2|OA|，可得（1+m2）（y1-y2）2=4（16m4+16m2），

而（y1-y2）2=16m2+16m，故m=；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得x1+x2=m（y1+y2）+2m=4m2+2m，

所以====，

令，

因为m＜-1或m＞0，所以-1＜t＜0或t＞0，

故=，

所以0＜＜1或＞1，

即0＜＜1或＞1，

所以的取值范围是（0，1）∪（1，+∞）．

解析

解：（Ⅰ）设B（x1，y1），D（x2，y2），

由，

可得y2-4my-4m=0，

由△＞0，得m＜-1或m＞0，

且y1+y2=4m，y1y2=-4m；

又因为，

可得y2-4my=0，所以y=0或4m，

故A （4m2，4m），

由|BD|=2|OA|，可得（1+m2）（y1-y2）2=4（16m4+16m2），

而（y1-y2）2=16m2+16m，故m=；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得x1+x2=m（y1+y2）+2m=4m2+2m，

所以====，

令，

因为m＜-1或m＞0，所以-1＜t＜0或t＞0，

故=，

所以0＜＜1或＞1，

即0＜＜1或＞1，

所以的取值范围是（0，1）∪（1，+∞）．

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=，（O为坐标原点）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过F1的直线L与该椭圆相交于M、N两点，且，求直线L的方程．

正确答案

解：（1）设P（x0，y0），F1（-c，0），F2（c，0）．

则由，得．

由，得．

即，∴c=1．

又∵，∴a2=2，b2=1．

因此所求椭圆的方程为：；

（2）设直线L的方程为y=k（x+1），

联立，得（1+2k2）x2+4k2x+2（k2-1）=0．

设M（x1，y1），N（x2，y2），

∴．

∵y1=-2y2，

∴，解得：．

∴直线L的方程为．

即或．

解析

解：（1）设P（x0，y0），F1（-c，0），F2（c，0）．

则由，得．

由，得．

即，∴c=1．

又∵，∴a2=2，b2=1．

因此所求椭圆的方程为：；

（2）设直线L的方程为y=k（x+1），

联立，得（1+2k2）x2+4k2x+2（k2-1）=0．

设M（x1，y1），N（x2，y2），

∴．

∵y1=-2y2，

∴，解得：．

∴直线L的方程为．

即或．

题型：填空题

填空题

F是抛物线y2=2x的焦点，A、B是抛物线上的两点，|AF|+|BF|=6，则线段AB的中点到y轴的距离为______．

正确答案

解析

解：∵F是抛物线y2=2x的焦点

∴F（，0），准线方程x=-

设A（x1，y1），B（x2，y2）

∴|AF|+|BF|=x1++x2+=6

∴x1+x2=5

∴线段AB的中点横坐标为

∴线段AB的中点到y轴的距离为

故答案为：

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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