热门试卷

解：（1），

根据右焦点到直线的距离为3，可得，∴a=2

∴椭圆C的标准方程：

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），中点为P0（x0，y0），

由于，所以（Ⅰ）

则x12+2y12①x22+2y22②．

由①②两式相减得：x12-x22+2y12-2y22=0

即（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0（Ⅱ）

由（Ⅰ），（Ⅱ）得：x0=1

因此：点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=1上．

（3）椭圆到一般，点到一般

 若A、B是椭圆（a＞b＞0））上的不同两点．弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点M，则称弦AB是点M的一条“相关弦”，如果点M的坐标为M（t，0），当时，证明：点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线上．

解：（1）（-2，0），（，-）在椭圆上，（3，-2），（4，-4）在抛物线上，

∴椭圆Γ1：，抛物线Γ2：y2=4x …（4分）

（2）F（1，0）是抛物线的焦点，

①当直线l的斜率存在时，

设l：y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），

联立方程得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，k≠0时△＞0恒成立

x1+x2=，x1x2=1，…（6分）

因Γ2准线为x=-1，设M（-1，m），k0=-，k1=，k2=，

∴k1+k2==-m

∴k1+k2=2k0，..…（8分）

②当直线l的斜率不存在时，l：x=1得A（1，2），B（1，-2），k1=，k2=，

∴k1+k2═-m

∴k1+k2=2k0，..…（10分）

（3）设F0到直线l的距离为d，则==．

F（1，0）是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，

①当直线l的斜率存在时，

设l：y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），

联立方程得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，k≠0时△＞0恒成立

x1+x2=，x1x2=1，

|AB|=•|x1-x2|=（11分）

y=k（x-1），代入椭圆方程，可得联立方程（3+k2）x2-8k2x+4k2-12=0，△＞0恒成立

|CD|=|=•|x3-x4|=，…（12分）

∴====+＞．…（14分）

②当直线l的斜率不存在时，l：x=1，

此时，|AB|=4，|CD|=3，∴=．…（15分）

∴的最小值为．…（16分）

解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+b．由直线l与圆（y-1）2+x2=1相切，

得 ，化简得k2=b2-2b．（2分）

直线l的方程代入x2=4y，消去y，得x2-4kx-4b=0．（*） 　　　　　（3分）

由直线l与抛物线x2=4y相交于A，B两点，得△=（-4k）2+16b＞0，即k2+b＞0．

将k2=b2-2b代入上式，得b2-b＞0．

解得b＞1，或b＜0．（5分）

注意到k2=b2-2b≥0，从而有b≥2，或b＜0．（6分）

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

由（*）得x1+x2=4k，x1x2=-4b．

所以•=x1x2+（y1-1）（y2-1）+y1y2=x1x2+（x1x2）2-（x1+x2）2+1．（10分）

将x1+x2=4k，x1x2=-4b代入上式，令•=0，得b2-4k2-6b+1=0．

所以b2-4（b2-2b）-6b+1=0，即3b2-2b-1=0．

解得b=-，b=1（舍去）．

故k=±．

所以直线l的方程为x+3y+1=0，或x-3y-1=0．（13分）