直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xOy中，F1（-4，0），F2（4，0），P是平面上一点，使三角形PF1F2的周长为18．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）在P点的轨迹上是否存在点P1、P2，使得顺次连接点F1、P1、F2、P2所得到的四边形F1P1F2P2是矩形？若存在，请求出点P1、P2的坐标；若不存在，请简要说明理由．

正确答案

解：（1）依题意，|PF1|+|PF2|+|F1F2|=18，∴|F1F2|=8，

∴|PF1|+|PF2|=10，点P的轨迹是椭圆，且2a=10，2c=8，

∴a=5，c=4，b==3，椭圆的方程为，

∵PF1F2是三角形，点P不在直线F1F2上（即不在x轴上），

∴点P的轨迹方程为（y≠0）．

（2）根据椭圆的对称性，F1P1F2P2是矩形当且仅当直线P1P2经过原点O，且∠F1P1F2是直角，此时（或），

设P1（x，y），则，解得，，

∴有2个这样的矩形F1P1F2P2，对应的点P1、P2分别为、或、．

解析

解：（1）依题意，|PF1|+|PF2|+|F1F2|=18，∴|F1F2|=8，

∴|PF1|+|PF2|=10，点P的轨迹是椭圆，且2a=10，2c=8，

∴a=5，c=4，b==3，椭圆的方程为，

∵PF1F2是三角形，点P不在直线F1F2上（即不在x轴上），

∴点P的轨迹方程为（y≠0）．

（2）根据椭圆的对称性，F1P1F2P2是矩形当且仅当直线P1P2经过原点O，且∠F1P1F2是直角，此时（或），

设P1（x，y），则，解得，，

∴有2个这样的矩形F1P1F2P2，对应的点P1、P2分别为、或、．

题型：填空题

填空题

已知F1，F2是椭圆的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为______．

正确答案

解析

解：∵A，B两点在椭圆上，

∴|AF1|+|AF2|=8，|BF1|+|BF2|=8

∴|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16

∴|AF1|+|BF1|+|AB|=16

∵在△AF1B中，有两边之和是10，

∴第三边的长度为16-10=6

故答案为6

题型：简答题

简答题

已知圆O：x2+y2=1，点O为坐标原点，一条直线l：y=kx+b（b＞0）与圆O相切并与椭圆交于不同的两点A、B．

（Ⅰ）设b=f（k），求f（k）的表达式，并注明k的取值范围；

（Ⅱ）若，求直线l的方程；

（Ⅲ）若=m（），求△OAB面积S的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）y=kx+b（b＞0）与圆x2+y2=1相切，则，

即b2=k2+1，k≠0，所以（b＞0）

∴（3分）

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）则由，消去y

得（2k2+1）x2+4kbx+2b2-2=0

又△=8k2＞0

∴（5分）

从而，∴k=±1

∴=（7分）

∴直线l的方程为：．（8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：，又

∴⇒（10分）

由弦长公式，得

又点O到直线AB的距离

∴（12分）

∴（14分）

解析

解：（Ⅰ）y=kx+b（b＞0）与圆x2+y2=1相切，则，

即b2=k2+1，k≠0，所以（b＞0）

∴（3分）

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）则由，消去y

得（2k2+1）x2+4kbx+2b2-2=0

又△=8k2＞0

∴（5分）

从而，∴k=±1

∴=（7分）

∴直线l的方程为：．（8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：，又

∴⇒（10分）

由弦长公式，得

又点O到直线AB的距离

∴（12分）

∴（14分）

题型：填空题

填空题

直线y=x+m交抛物线y2=2x于A、B两点，若AB中点的横坐标是2，则m=______．

正确答案

-1

解析

解：将直线方程y=x+m代入抛物线方程y2=2x，

可得x2+（2m-2）x+m2=0，

判别式为（2m-2）2-4m2＞0，解得m＜，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

即有x1+x2=2-2m，

由题意可得1-m=2，

解得m=-1．成立．

故答案为：-1．

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴左右端点M，N与短轴上端点Q构成的三角形的面积为2，离心率e=．

（Ⅰ）求椭圆的方程．

（Ⅱ）若过椭圆C右焦点F2作垂直于线段MQ的直线L，交椭圆C于A，B两点，求四边形AMBQ面积S．

正确答案

解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴左右端点M，N与短轴上端点Q构成的三角形的面积为2，离心率e=，

∴------------（2分）

∴a=2，b=------------（4分）

∴椭圆的方程为------------（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知F2（1，0），M（-2，0），Q（0，）------------（6分）

∴直线MQ斜率为，

又∵L⊥MQ，∴直线L斜率k=-------------（7分）

直线L：y=-（x-1）------------（8分）

代入椭圆方程得25x2-32x-20=0------------（9分）

设A（x1，y1），B（x2，y2）

由韦达定理x1+x2=，x1x2=-------------（10分）

∴|AB|=•=------------（11分）

∴四边形AMBQ面积S==．------------（12分）

解析

解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴左右端点M，N与短轴上端点Q构成的三角形的面积为2，离心率e=，

∴------------（2分）

∴a=2，b=------------（4分）

∴椭圆的方程为------------（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知F2（1，0），M（-2，0），Q（0，）------------（6分）

∴直线MQ斜率为，

又∵L⊥MQ，∴直线L斜率k=-------------（7分）

直线L：y=-（x-1）------------（8分）

代入椭圆方程得25x2-32x-20=0------------（9分）

设A（x1，y1），B（x2，y2）

由韦达定理x1+x2=，x1x2=-------------（10分）

∴|AB|=•=------------（11分）

∴四边形AMBQ面积S==．------------（12分）

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