直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：填空题

填空题

设直线l过点P（0，3），和椭圆交于A、B两点（A在B上方），试求的取值范围______．

正确答案

解析

解：当直线l的斜率不存在时，A点坐标为（0，2），B点坐标为（0，-2），这时=．

当直线l斜率为k时，直线l方程为y=kx+3，

设A点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），则向量AP=（-x1，3-y1），向量PB=（x2，y2-3），

所以=，

因为直线y=kx+3与椭圆有两个交点，且它们的横坐标不同，

把y=kx+3代入后的一元二次方程（9k2+4）x2+54k+45=0的判别式（54k）2-4（9k2+4）×45＞0，

所以k＞或k＜-，

设=λ，则x1=λx2，

因为x1+x2=-，x1x2=，

所以（1+λ）x2═-，（1）

λx22=，（2）

显然λ不等于1，解得0＜λ＜1．

综上所述的范围是[）．

故答案为：[）．

题型：简答题

简答题

双曲线的离心率等于，且与椭圆+=1有公共焦点，求此双曲线的方程．

正确答案

解：椭圆+=1焦点为F（±，0），根据题意得双曲线的焦点为F（±，0）（3分）

设双曲线的标准方程为-=1，且有c=．（6分）

又由e==，得a=2，得b2=c2-a2=5-4=1，（10分）

所求双曲线的方程为-y2=1．（12分）

解析

解：椭圆+=1焦点为F（±，0），根据题意得双曲线的焦点为F（±，0）（3分）

设双曲线的标准方程为-=1，且有c=．（6分）

又由e==，得a=2，得b2=c2-a2=5-4=1，（10分）

所求双曲线的方程为-y2=1．（12分）

题型：简答题

简答题

设双曲线C的中心在原点，它的右焦点是抛物线的焦点，且该点到双曲线的一条准线的距离为．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）设直线l：y=kx+1与双曲线C交于两点A、B，试问：

（1）当k为何值时，以AB为直径的圆过原点；

（2）是否存在这样的实数k，使A、B关于直线y=ax对称（a为常数），若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）∵抛物线的焦点为，（1分）

∴设中心在原点，右焦点为的双曲线C的方程为．

∵到双曲线的一条准线的距离为，

∴．（2分）

∴．∴．（3分）

∴双曲线C的方程为3x2-y2=1．（4分）

（Ⅱ）（1）由得（3-k2）x2-2kx-2=0．（5分）

由得．①（7分）

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

∵OA⊥OB，∴y2y1+x2x1=0，y1=kx1+1，y2=kx2+1．（9分）

∴（kx1+1）（kx2+1）+x1x2=0．即x1x2（1+k2）+k（x1+x2）+1=0．②

将，，代入②，解得k=±1，满足①．

∴k=±1时，以AB为直径的圆过原点．（10分）

（2）假设存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称（a为常数），

则由④、⑤得a（x1+x2）=k（x1+x2）+2．（12分）

将代入上式，得2ak=6，∴ak=3．与③矛盾．（13分）

∴不存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称．（14分）

解析

解：（Ⅰ）∵抛物线的焦点为，（1分）

∴设中心在原点，右焦点为的双曲线C的方程为．

∵到双曲线的一条准线的距离为，

∴．（2分）

∴．∴．（3分）

∴双曲线C的方程为3x2-y2=1．（4分）

（Ⅱ）（1）由得（3-k2）x2-2kx-2=0．（5分）

由得．①（7分）

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

∵OA⊥OB，∴y2y1+x2x1=0，y1=kx1+1，y2=kx2+1．（9分）

∴（kx1+1）（kx2+1）+x1x2=0．即x1x2（1+k2）+k（x1+x2）+1=0．②

将，，代入②，解得k=±1，满足①．

∴k=±1时，以AB为直径的圆过原点．（10分）

（2）假设存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称（a为常数），

则由④、⑤得a（x1+x2）=k（x1+x2）+2．（12分）

将代入上式，得2ak=6，∴ak=3．与③矛盾．（13分）

∴不存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称．（14分）

题型：简答题

简答题

已知常数a＞0，向量=（0，a），=（1，0）经过定点A（0，-a）以+为方向向量的直线与经过定点B（0，a）以+2为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．

（I）求点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）若a=，过E（0，1）的直线l交曲线C于M、N两点，求•的取值范围．

正确答案

解：（I）设P（x，y），∴，．

又=（0，a）+λ（1，0）=（λ，a），=（1，0）+2λ（0，a）=（1，2λa），

∵（+），（+2），

∴xa-λ（y+a）=0，2λax-（y-a）=0，

消去参数λ得y2-2a2x2=a2．

化为．

（II）当a=时，点P的轨迹方程为.=1．

∴E（0，1）为双曲线的一焦点．

①当直线l的斜率不存在时，其方程为x=0，l与双曲线分别相较于点M，N．此时==．

②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+1，代入双曲线得2（k2-1）x2+4kx+1=0，

∵l与双曲线交于两点，∴△=16k2-8（k2-1）＞0，且k2-1≠0．

设两交点为M（x1，y1），N（x2，y2）．

则，．

∴=（x1，y1-1）•（x2，y2-1）===．

当-1＜k＜1时，k2-1＜0，则，

当k＜-1或k＞1时，k2-1＞0，故．

综上所述：的取值范围是．

解析

解：（I）设P（x，y），∴，．

又=（0，a）+λ（1，0）=（λ，a），=（1，0）+2λ（0，a）=（1，2λa），

∵（+），（+2），

∴xa-λ（y+a）=0，2λax-（y-a）=0，

消去参数λ得y2-2a2x2=a2．

化为．

（II）当a=时，点P的轨迹方程为.=1．

∴E（0，1）为双曲线的一焦点．

①当直线l的斜率不存在时，其方程为x=0，l与双曲线分别相较于点M，N．此时==．

②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+1，代入双曲线得2（k2-1）x2+4kx+1=0，

∵l与双曲线交于两点，∴△=16k2-8（k2-1）＞0，且k2-1≠0．

设两交点为M（x1，y1），N（x2，y2）．

则，．

∴=（x1，y1-1）•（x2，y2-1）===．

当-1＜k＜1时，k2-1＜0，则，

当k＜-1或k＞1时，k2-1＞0，故．

综上所述：的取值范围是．

题型：简答题

简答题

已知抛物线C1的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线C2：的一个焦点F1且垂直于C2的两个焦点所在的轴，若抛物线C1与双曲线C2的一个交点是．

（1）求抛物线C1的方程及其焦点F的坐标；

（2）求双曲线C2的方程及其离心率e．

正确答案

解：（1）由题意可设抛物线C1的方程为y2=2px．（2分）

把代入方程y2=2px，得p=2（4分）

因此，抛物线C1的方程为y2=4x．（5分）

于是焦点F（1，0）（7分）

（2）抛物线C1的准线方程为x=-1，

所以，F1（-1，0）（8分）

而双曲线C2的另一个焦点为F（1，0），于是因此，（10分）

又因为c=1，所以．于是，双曲线C2的方程为（12分）

因此，双曲线C2的离心率e=3．（14分）

解析

解：（1）由题意可设抛物线C1的方程为y2=2px．（2分）

把代入方程y2=2px，得p=2（4分）

因此，抛物线C1的方程为y2=4x．（5分）

于是焦点F（1，0）（7分）

（2）抛物线C1的准线方程为x=-1，

所以，F1（-1，0）（8分）

而双曲线C2的另一个焦点为F（1，0），于是因此，（10分）

又因为c=1，所以．于是，双曲线C2的方程为（12分）

因此，双曲线C2的离心率e=3．（14分）

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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