- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
已知双曲线的两条渐近线经过坐标原点，且与以A（
（1）求双曲线的方程；
（2）是否存在过A点的一条直线交双曲线于M、N两点，且线段MN被直线x=-1平分．如果存在，求出直线的方程；如果不存在，说明理由．
正确答案
解：（1）由题意得，∵双曲线的一个顶点A‘与点A关于直线y=x对称
∴顶点A'（0，
设双曲线的一条渐近线方程为y=kx
∵双曲线的渐近线经过坐标原点，且与以A（
∴k=1
∴双曲线的方程为
（2）设过A点的一条直线方程为
代入双曲线方程并化简得
由题意，
经验证，满足题意
∴直线方程为y=±
解析
解：（1）由题意得，∵双曲线的一个顶点A‘与点A关于直线y=x对称
∴顶点A'（0，
设双曲线的一条渐近线方程为y=kx
∵双曲线的渐近线经过坐标原点，且与以A（
∴k=1
∴双曲线的方程为
（2）设过A点的一条直线方程为
代入双曲线方程并化简得
由题意，
经验证，满足题意
∴直线方程为y=±
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
正确答案
解：（1）设曲线方程为
由题意可知，
∴
∴曲线方程为
（2）设变轨点为C（x，y），根据题意可知
得4y2-7y-36=0，y=4或
∴y=4．
得x=6或x=-6（不合题意，舍去）．
∴C点的坐标为（6，4），
答：当观测点A、B测得AC、BC距离分别为
解析
解：（1）设曲线方程为
由题意可知，
∴
∴曲线方程为
（2）设变轨点为C（x，y），根据题意可知
得4y2-7y-36=0，y=4或
∴y=4．
得x=6或x=-6（不合题意，舍去）．
∴C点的坐标为（6，4），
答：当观测点A、B测得AC、BC距离分别为
已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（-12，-15），则E的方程式为______．
正确答案
解析
解：由题意，不妨设双曲线的方程为
∵F（3，0）是E的焦点，∴c=3，∴a2+b2=9．设A（x1，y1），B（x2，y2）则有：
由①-②得：
∵AB的中点为N（-12，-15），
∴
又AB的斜率是
∴
将4b2=5a2代入a2+b2=9，可得a2=4，b2=5
∴双曲线标准方程是
故答案为：
已知双曲线
A21
B18
C4
D4
正确答案
解析
解：由e=
由一条准线与抛物线y2=4x的准线重合，得准线为x=-1，
所以
故a=
所以双曲线方程为
由
∵P到抛物线的焦点F的距离等于到其准线的距离，
∴|PF|=3-（-1）=4
故选：D．
过抛物线y2=4x的焦点，作直线与抛物线相交于P、Q两点，求线段PQ中点的轨迹方程．
正确答案
解：∵y2=4x的焦点坐标为F（1，0）
∴当直线PQ的斜率k存在时，可设其方程的y=k（x-1），且k≠0
又设P（x1，y1），Q（x2，y2），中点M的坐标为（x0，y0），则有：
而由题意，得
∴
∵点M（x0，y0）在直线PQ上
即得线段PQ中点的轨迹方程为y2=2（x-1）…（5分）
而当直线PQ的斜率不存在时，有PQ⊥x轴，此时PQ的中点M，即为焦点F（1，0），满足y2=2（x-1）
综上，线段PQ中点的轨迹方程为y2=2（x-1）…（6分）
解析
解：∵y2=4x的焦点坐标为F（1，0）
∴当直线PQ的斜率k存在时，可设其方程的y=k（x-1），且k≠0
又设P（x1，y1），Q（x2，y2），中点M的坐标为（x0，y0），则有：
而由题意，得
∴
∵点M（x0，y0）在直线PQ上
即得线段PQ中点的轨迹方程为y2=2（x-1）…（5分）
而当直线PQ的斜率不存在时，有PQ⊥x轴，此时PQ的中点M，即为焦点F（1，0），满足y2=2（x-1）
综上，线段PQ中点的轨迹方程为y2=2（x-1）…（6分）
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